Теорема Рауса — Гурвица

Теоре́ма Ра́уса — Гу́рвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. Гурвица^[1].

Пусть ${\displaystyle f(z)}$ — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени ${\displaystyle n}$. При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии ${\displaystyle z=ic}$ где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица и ${\displaystyle c}$ — вещественное число). Давайте обозначим ${\displaystyle P_{0}(y)}$ (многочлен степени ${\displaystyle n}$) и ${\displaystyle P_{1}(y)}$ (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем ${\displaystyle n}$) через ${\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}$, относительно вещественной и мнимой части ${\displaystyle f}$ мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

• ${\displaystyle p}$ — число корней ${\displaystyle f}$ в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• ${\displaystyle q}$ — число корней ${\displaystyle f}$ в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• ${\displaystyle \Delta \arg f(iy)}$ — изменение аргумента ${\displaystyle f(iy)}$, когда ${\displaystyle y}$ пробегает от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$;
• ${\displaystyle w(x)}$ — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из ${\displaystyle P_{0}(y)}$ и ${\displaystyle P_{1}(y)}$ с помощью алгоритма Евклида;

• ${\displaystyle I_{-\infty }^{+\infty }r(x)}$ — индекс Коши рациональной функции ${\displaystyle r(x)}$ на вещественной прямой.

Пусть ${\displaystyle f(z)}$ — многочлен Гурвица над полем комплексных чисел (т. е. ${\displaystyle f}$ он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим ${\displaystyle f}$ в сумму:

${\displaystyle f(z)=g(z^{2})+zh(z)}$.

Обозначим коэффициенты ${\displaystyle g}$ как ${\displaystyle a_{j}^{0}}$, а ${\displaystyle h}$ — как ${\displaystyle a_{j}^{1}}$. Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена ${\displaystyle g}$ является ${\displaystyle a_{0}^{0}}$.

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

${\displaystyle p-q={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=-I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{1}(y)}{P_{0}(y)}}=w(+\infty )-w(-\infty ).}$

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента ${\displaystyle f(iy)}$ положительно, тогда ${\displaystyle f(z)}$ имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство ${\displaystyle p-q=w(+\infty )-w(-\infty )}$ может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть ${\displaystyle p+q}$, а ${\displaystyle w}$ из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае ${\displaystyle w}$ относится к обобщённой цепочке Штурма).

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

${\displaystyle H_{f}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&&\\a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&&\\&a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&\\&a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&\\&\vdots &&&\vdots &\\&&&&\dots &a_{n}\end{pmatrix}},}$

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если ${\displaystyle f}$ — многочлен Гурвица, и наоборот.

Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$, определяет последовательность ${\displaystyle a_{0}^{1},a_{0}^{2},\dots ,a_{0}^{n}}$ ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если ${\displaystyle f}$ — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

Применив метод Гаусса к матрице ${\displaystyle H_{f}}$, мы получим диагональную матрицу ${\displaystyle H_{f}^{*}}$. Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы ${\displaystyle h_{j,j}^{*}}$ трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу ${\displaystyle H_{f}}$, мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты ${\displaystyle h_{j,j}^{*}}$ соответствуют коэффициентам ${\displaystyle a_{0}^{j}}$, мы и получим критерий Рауса.

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как ${\displaystyle f(z)}$ — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда ${\displaystyle p-q=n}$. Таким образом получаем условия на коэффициенты ${\displaystyle f(z)}$, накладывая дополнительные условия ${\displaystyle w(+\infty )=n}$ и ${\displaystyle w(-\infty )=0}$.

Наравне с теоремой Стилтьеса, теорема Рауса — Гурвица даёт способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица даёт больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

• Теорема Стилтьеса
• Устойчивый многочлен
• Дробно-линейное преобразование
• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

• Гантмахер Ф. Р.  Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.
• Постников М. М.  Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с.

• Weisstein, Eric W. Теорема Рауса-Гурвица (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.