Теорема Римана — Роха для поверхностей
Теорема Римана — Роха для поверхностей описывает размерность линейных систем на алгебраической поверхности. В классическом виде теорему первым сформулировал Кастельнуово[1] после предварительных версий Макса Нётера[2] и Энриквеса[3]. Версия в терминах пучков принадлежит Хирцебруху.
Утверждение теоремы
Одна из форм теоремы Римана — Роха утверждает, что если D является дивизором несингулярной проективной поверхности, то
- ,
где χ — голоморфная эйлерова характеристика, символ «точка» — индекс пересечения, а K — канонический дивизор. Константа χ(0) является голоморфной эйлеровой характеристикой тривиального расслоения и равна 1 + pa, где pa — арифметический род[англ.] поверхности. Для сравнения, теорема Римана — Роха для кривой утверждает, что .
Формула Нётера
Формула Нётера утверждает, что
- ,
где χ=χ(0) — голоморфная эйлерова характеристика, — число Чженя и число самопересечений канонического класса K, а является топологической эйлеровой характеристикой. Формула может быть использована для замены члена χ(0) в теореме Римана — Роха в топологических терминах. Это даёт теорему Хирцебруха — Римана — Роха[англ.] для поверхностей.
Связь с теоремой Хирцебруха — Римана — Роха
Для поверхностей теорема Хирцебруха — Римана — Роха[англ.], по существу, является теоремой Римана — Роха для поверхностей, скомбинированной с формулой Нётера. Чтобы это видеть, напомним, что для любого дивизора D на поверхности существует обратимый пучок L = O(D), такой, что линейная система дивизора D является более или менее пространством сечений L. Для поверхностей класс Тодда — это , а характер Чженя пучка L — это просто . Таким образом, теорема Хирцебруха — Римана — Роха утверждает, что
К счастью, формулу можно переписать в более ясном виде следующим образом. В первую очередь, полагая D = 0, получим, что
- (Формула Нётера)
Для обратимых пучков (линейных расслоений) второй класс Чженя равен нулю. Произведения вторых классов когомологий можно отождествить с числами пересечения в группе Пикара[англ.], и мы получаем более классическую версию теоремы Римана — Роха для поверхностей:
При желании мы можем использовать двойственность Серра для выражения как , но, в отличие от случая кривых, не имеется в общем случае простого пути записать член в форме, не использующей когомологии пучков (хотя, на практике, он часто обращается в нуль).
Ранние версии
Наиболее ранние формы теоремы Римана — Роха для поверхностей часто формулировались в виде неравенств, а не равенств, поскольку не было прямого геометрического описания групп первой когомологии. Типичный пример формулировки дал Зарисский[4], в которой утверждается
- ,
где
- r — размерность полной линейной системы |D| дивизора D (так что )
- n — виртуальная степень дивизора D, задаваемая числом самопересечений (D.D)
- π — виртуальный род дивизора D, равен 1 + (D.D + K.D)/2
- pa — арифметический род поверхности
- i — индекс специфичности дивизора D, равен (что, согласно двойственности Серра, равно ).
Разность двух частей этого неравенства называется избыточностью s дивизора D. Сравнение этого неравенства с версией теоремы Римана — Роха с пучками показывает, что избыточность дивизора D задаётся равенством . Дивизор D назывался регулярным, если (или, другими словами, если все группы высоких когомологий O(D) обращаются в нуль) и избыточным, если .
Примечания
- ↑ Castelnuovo, 1896.
- ↑ Noether, 1875.
- ↑ Enriques (1894)
- ↑ Zariski, 1995, с. 78.
Литература
- Friedrich Hirzebruch. Topological Methods in Algebraic Geometry. — Springer, 1978. — ISBN 3-540-03525-7. — ISBN 0-387-03525-7. — ISBN 3-540-58663-6.
- Oscar Zariski. Algebraic surfaces. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995. — (Classics in Mathematics). — ISBN 978-3-540-58658-6.
- Castelnuovo G. Sulle superficie di genere zero // Mem. Soc. It delle Scienze. — 1896. — Т. 3, вып. 10.
- Max Noether. Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde // Math. Ann.. — 1875. — Т. 8, вып. 4. — С. 495–533. — doi:10.1007/BF02106598.