Теорема Руше

Теорема Руше — утверждение о голоморфных функциях в комплексном анализе.

Формулировка

Пусть $D\subset \mathbb {C}$ есть область, ограниченная кусочно гладкой жордановой кривой. Предположим, что функции $f(z)$ и $g(z)$ голоморфны в области $G\supset {\overline {D}}$ и выполнено неравенство $|g(z)|<|f(z)|\ \ \forall \ z\in \partial D$ . ^[1] Тогда функции $f$ и $h=f+g$ имеют в области $D$ одинаковое число нулей, при условии, что каждый ноль подсчитан с учётом кратности, а также имеет место равенство

{}\ \int \limits _{\partial D}{\frac {h'(z)}{h(z)}}dz=\int \limits _{\partial D}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz.

Ссылки

Beardon, Alan. Complex Analysis: the Winding Number principle in analysis and topology (англ.). — John Wiley and Sons, 1979. — P. 131. — ISBN 0-471-99672-6.
Titchmarsh, E. C. The Theory of Functions (англ.). — 2nd. — Oxford University Press, 1939. — P. 117—119, 198—203. — ISBN 0-19-853349-7.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976.
А.В. Домрин, А.Г. Сергеев. Лекции по комплексному анализу. Мː МИАН, 2004.

Примечания

↑ А.В. Домрин, А.Г. Сергеев. Лекции по комплексному анализу. Мː МИАН, 2004. (неопр.) Дата обращения: 12 августа 2024. Архивировано 12 августа 2024 года.

Похожие исследовательские статьи

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Градие́нт — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины $\text{[math]}$ .

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция $\text{[math]}$ , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $\text{[math]}$ , удовлетворяющая уравнению Лапласа:

\text{[math]}

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Вы́чет в комплексном анализе — объект, характеризующий локальные свойства заданной функции или формы.

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной.

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему:

Принцип максимума модуля выражается следующей теоремой:

Основна́я теоре́ма о вы́четах — мощный инструмент для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

Изгиб — в сопротивлении материалов вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев, изменение кривизны/искривление срединной поверхности пластины или оболочки. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса или оболочки изгибающих моментов. Прямой изгиб балки возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, изгиб называется косым.

В математике и обработке сигналов преобразование Гильберта — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции $\text{[math]}$ функцию $\text{[math]}$ в той же области.

Теорема Коши — Пуанкаре является обобщением на случай многомерного комплексного пространства интегральной теоремы Коши. Была доказана А. Пуанкаре в 1886 г.

Комплексная дифференциальная форма — дифференциальная форма с комплексными коэффициентами, обычно рассматривается на комплексных многообразиях.

Производные Виртингера — обобщение производной на случай комплексно недифференцируемых комплексных функций. Производные Виртингера обозначаются тем же символом, что и частные производные: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Для комплексной функции одной переменной $\text{[math]}$ определяются выражениями

\text{[math]}

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.