Теорема Сазонова

Теорема Сазонова относится к области функционального анализа.

Теорема утверждает, что ограниченный линейный оператор между двумя Гильбертовыми пространствами является радонифицирующим, если это оператор Гильберта — Шмидта. Так же верно и обратное: если оператор не Гильберта-Шмидта, то он не является γ-радонизующим.

Результат также важен при изучении случайных процессов и Malliavin calculus, так как результаты, касающиеся вероятностной меры на бесконечномерных пространствах имеют центральное значение в этих областях.

Теорема

Пусть G и H гильбертовы пространства и T : G → H ограниченный оператор из G в H.

T называется γ-радонизующим, если образ меры под действием отображения canonical Gaussian cylinder set measure on G is a bona fide measure on H.

T является оператором Гильберта-Шмидта, если в нём существует ортонормированный базис { e_i | i ∈ I } из G, такой что

\sum _{i\in I}\|T(e_{i})\|_{H}^{2}<+\infty .

Теорема Сазонова утверждает, что T является γ-радонизующим, если это оператор Гильберта-Шмидта.

Для доказательства теоремы используется теорема Прохорова.

Похожие исследовательские статьи

Евкли́дово простра́нство в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность и полное по метрике, порождённой скалярным произведением. Названо в честь Давида Гильберта.

Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Гипо́теза Ри́мана — сформулированная немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году математическая гипотеза о том, что дзета-функция Ри́мана $\text{[math]}$ принимает нулевые значения только в отрицательных чётных числах: $\text{[math]}$ , и комплексных числах с вещественной частью $\text{[math]}$ . Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что:

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.

<span class="mw-page-title-main">Волновая функция</span> комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике

Волнова́я фу́нкция, или пси-фу́нкция $\text{[math]}$ — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для математического описания чистого квантового состояния изолированной квантовомеханической системы. Наиболее распространённые символы для волновой функции — греческие буквы ψ и Ψ. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису. Например, при разложении по координатному базису:

Компа́ктный опера́тор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными.

Операторная норма — норма определённая на ограниченных линейных операторах из одного нормированного пространства в другое. Также называется операторной, подчинённой или индуцированной нормой.

Дифференциа́льный опера́тор — оператор, определённый некоторым дифференциальным выражением и действующий в пространствах функций на дифференцируемых многообразиях или в пространствах, сопряжённых к пространствам этого типа.

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор $\text{[math]}$ на гильбертовом пространстве $\text{[math]}$ , который удовлетворяет соотношению:

\text{[math]}

Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор $\text{[math]}$ на гильбертовом пространстве $\text{[math]}$ с конечной нормой Гильберта — Шмидта, т. е. для которого существует такой ортонормированный базис $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ , что

\text{[math]}

Теоре́ма Ги́льберта-Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.

В математике и обработке сигналов преобразование Гильберта — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции $\text{[math]}$ функцию $\text{[math]}$ в той же области.

Теория Фредгольма — раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле — изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке — представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

<span class="mw-page-title-main">Кривая Гильберта</span>

Кривая Гильберта — это непрерывная фрактальная заполняющая пространство кривая, впервые описанная немецким математиком Давидом Гильбертом в 1891 году, как вариант заполняющих пространство кривых Пеано, открытых итальянским математиком Джузеппе Пеано в 1890 году.

Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: $\text{[math]}$ . Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: $\text{[math]}$ и унитарные операторы: $\text{[math]}$ . Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Максимальная компактная подгруппа K топологической группы G — это компактное пространство с индуцированной топологией, максимальное среди всех подгрупп. Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и, особенно, в классификации полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли в общем случае не единственны, но единственны с точностью до сопряжённости — они являются существенно сопряжёнными.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.