Теорема Стилтьеса

Теорема Стилтьеса — теорема о свойствах нормальных семейств голоморфных функций одного или многих комплексных переменных. Названа в честь Томаса Стилтьеса.

Формулировка

Пусть $F$ — последовательность голоморфных функций; $D$ — область нормальности первого (второго) рода семейства, образованного из функций семейства $F$ . Тогда, если в области $D$ существует точка $M_{0}$ , в окрестности которой последовательность $F$ сходится, то область $D$ совпадает с областью равномерной сходимости первого (второго) рода последовательности $F$ ^[1].

Доказательство

Доказательство аналогично случаю одного комплексного переменного^[2].

Пояснения

Область $D$ над пространством $P^{n}$ называется областью нормальности первого (второго) рода, если:

Существует множество функций $F$ , голоморфных в области $D$ и составляющих в этой области нормальное семейство первого (второго) рода.
Не существует области ${\tilde {D}}>D$ , обладающей по отношению к множеству $F$ свойством, указанным в пункте 1.

Примечания

↑ Фукс, 1963, с. 27.
↑ Монтель, 1936, с. 193—203.

Литература

Фукс, Б. А.. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных (рус.). — М.: Физматлит, 1963. — 428 с.
Монтель, П. Нормальные семейства аналитических функций (рус.). — М., Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Множество Жюлиа</span> множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения

Множество Жюлиа́ — множество $\text{[math]}$ , определяемое для рационального отображения $\text{[math]}$ как совокупность точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если $\text{[math]}$ — многочлен, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция $\text{[math]}$ , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $\text{[math]}$ , удовлетворяющая уравнению Лапласа:

\text{[math]}

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией $\text{[math]}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции $\text{[math]}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности:

Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Плюрисубгармоническая функция — вещественнозначная функция $\text{[math]}$ , от $\text{[math]}$ комплексных переменных $\text{[math]}$ в области $\text{[math]}$ комплексного пространства $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , удовлетворяющая следующим условиям:

$\text{[math]}$ полунепрерывна сверху всюду в $\text{[math]}$ ;
$\text{[math]}$ есть субгармоническая функция переменного $\text{[math]}$ в каждой связной компоненте открытого множества $\text{[math]}$ для любых фиксированных точек $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Ива́н Ива́нович Прива́лов — советский математик, член-корреспондент АН СССР.

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Особенность или особая точка голоморфной функции f — точка комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе.

Теорема Рунге в комплексном анализе — утверждение о возможности равномерного приближения голоморфной функции многочленами. Сформулирована Карлом Рунге в 1885 году.

Теорема Боголюбова «об острие клина» утверждает, что функция нескольких комплексных переменных, голоморфная в двух клиновидных областях с общим острием, на котором она непрерывна, является голоморфной и на острие. Данная теорема используется в квантовой теории поля для построения аналитического продолжения функций Вайтмана. Первая формулировка и доказательство теоремы были приведены Н. Н. Боголюбовым на международной конференции в Сиэтле, США и также опубликованы в монографии. Впоследствии другие доказательства и обобщения теоремы были приведены Йостом и Леманом (1957), Дайсоном (1958), Эпштейном (1960) и другими математиками. Важными применениями теоремы об «острие клина» являются: доказательство дисперсионных соотношений в квантовой теории поля, аксиоматическая квантовая теория поля, теория обобщённых функций, обобщение теоремы Лиувилля.

Теорема Блоха — теорема о свойствах голоморфных функций. Теорема Блоха используется при доказательстве теоремы Ландау.

Теорема Ока об аппроксимации — теорема о необходимых и достаточных условиях аппроксимации голоморфной функции нескольких комплексных переменных. Сформулирована и доказана К. Ока в 1939 году.

Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.