Теорема Уитни о вложении

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Этот результат оптимален, например, если  — степень двойки, то -мерное проективное пространство невозможно вложить в -мерное евклидово пространство.

Схема доказательства

Случаи и устанавливаются напрямую.

Для доказательства случая используется факт, что гладкое отображение общего положения является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.

Избавиться от этих точек самопересечения можно, несколько раз применив трюк Уитни. Он состоит в следующем. Возьмем точки самопересечения отображения , имеющие разные знаки. Возьмем точки , для которых и . Соединим и гладкой кривой . Соединим и гладкой кривой . Тогда есть замкнутая кривая в . Далее построим отображение с границей . В общем положении, является вложением и (как раз здесь используется то, что ). Тогда можно изотопировать в маленькой окрестности диска так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению). Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова[1].

Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения . Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку самопересечения отображения . Возьмем точки , для которых . Соединим и гладкой кривой . Тогда есть замкнутая кривая в . Далее построим отображение с границей . В общем положении, является вложением и (как раз здесь используется то, что ). Теперь можно изотопировать в маленькой окрестности диска так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона[2] и параграфе 8 обзора Скопенкова[3]. Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории. В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. [1]).

Вариации и обобщения

Пусть есть гладкое -мерное многообразие, .

  • Если не является степенью двойки, тогда существует вложение в
  • может быть погружено в
    • Более того может быть погружено в , где есть число единиц в двоичном представлении .
      • Последний результат оптимален, для любого можно построить -мерное многообразие (произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в .
  • Теорема Мостоу — Паласа[англ.] даёт эквивариантный вариант теоремы Уитни о вложении.[4][5]

Примечания

  1. В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий Архивная копия от 3 апреля 2010 на Wayback Machine
  2. C.P. Rourke, B.J. Sanderson, Introduction into piecewise-linear topology, Springer, 1972.
  3. Skopenkov, A. (1999), "New Results on embedding of polyhedra and manifolds in Euclidean spaces", Russian Math. Surveys, 54 (6): 1149—1196
  4. Mostow, George D. (1957), "Equivariant embeddings in Euclidean space", Annals of Mathematics, Second Series, 65: 432—446, doi:10.2307/1970055, hdl:2027/mdp.39015095242668, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970055, MR 0087037
  5. Palais, Richard S. (1957), "Imbedding of compact, differentiable transformation groups in orthogonal representations", Journal of Mathematics and Mechanics, 6: 673—678, doi:10.1512/iumj.1957.6.56037, MR 0092927

Литература

Оревков С. Ю. Физическое доказательство теоремы Уитни о плоских кривых// Сборник «Математическое Просвещение». Третья серия. 1997. Выпуск 1 . С. 96-102