Теорема Усова о геодезической

Теорема Усова о геодезической даёт точную оценку на вариацию поворота геодезической на графике выпуклой липшицевой функции.

Доказана Владимиром Владимировичем Усовым.^[1] Доказательство использует лемму Либермана.

Формулировка

Пусть $\Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}$ есть график выпуклой липшицевой функции $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ и $\gamma$ есть геодезическая на $\Sigma$ . Тогда вариация поворота $\gamma$ не превосходит $2\cdot L$ , где $L$ — липшицева константа $f$ .

Замечания

Эта оценка достигается например для конуса $f=L\cdot {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ . Можно также сгладить функцию в окрестности нуля, получив таким образом гладкий пример с равенством.

Вариации и обобщения

Вариация поворота геодезической подграфика произвольной $L$ -липшицевой функции не превосходит $2\cdot L$ .^[2]
Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.^[3]

Примечания

↑ В. В. Усов. "О длине сферического изображения геодезической на выпуклой поверхности." Сибирский математический журнал 17.1 (1976), с. 233—236
↑ I. D. Berg. “An estimate on the total curvature of a geodesic in Euclidean 3-space-with-boundary.” Geom. Dedicata 13 (1982), pp. 1–6.
↑ N. Lebedeva, A. Petrunin. On the total curvature of minimizing geodesics on convex surfaces (рус.) // Алгебра и анализ. — 2017. — Т. 29, № 1. — С. 189–208.

Похожие исследовательские статьи

Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Преобразование Лежандра для заданной функции $\text{[math]}$ — это построение функции $\text{[math]}$ , двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве $\text{[math]}$ , её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве $\text{[math]}$ , то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве $\text{[math]}$ .

Теорема Киршбрауна о продолжении — теорема о существовании продолжения липшицевой функции определённой на подмножестве евклидова пространства на всё пространство.

KHAZAD — в криптографии симметричный блочный шифр, разработанный двумя криптографами: бельгийцем Винсентом Рэйменом и бразильцем Пауло Баррето. В алгоритме используются блоки данных размером 64 бита и ключи размером 128 бит. KHAZAD был представлен на европейском конкурсе криптографических примитивов NESSIE в 2000 году, где в модифицированной (tweaked) форме стал одним из алгоритмов-финалистов.

SQUARE — в криптографии симметричный блочный криптоалгоритм, разработанный в 1997 году Винсентом Рэйменом, Йоаном Дайменом и Ларсом Кнудсеном.

Лемма Либермана — основной инструмент изучения внутренней метрики выпуклой поверхности.

В математике, дифферинтеграл Римана — Лиувилля отображает вещественную функцию $\text{[math]}$ в другую функцию $\text{[math]}$ того же типа для каждого значения параметра $\text{[math]}$ . Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от $\text{[math]}$ в том смысле, что для целых положительных значений $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ представляет собой повторную производную функции $\text{[math]}$ порядка $\text{[math]}$ . Дифферинтеграл Римана — Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля, последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году. Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции. Он был обобщён на произвольные размерности Марселем Рисом, который ввёл потенциал Риса.

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

Формула Фейнмана — Каца — математическая формула, устанавливающая связь между дифференциальными уравнениями с частными производными и случайными процессами. Названа в честь физика Ричарда Фейнмана и математика Марка Каца.

Разрывный метод Галёркина — метод решения операторных уравнений, в основном дифференциальных уравнений. Является развитием классического метода конечных элементов (МКЭ), основанного на вариационной постановке Галёркина.

В математике теория момента остановки или марковский момент времени связана с проблемой выбора времени, чтобы принять определённое действие, для того чтобы максимизировать ожидаемое вознаграждение или минимизировать ожидаемые затраты. Проблема момента остановки может быть найдена в области статистики, экономики и финансовой математики. Самым ярким примером, относящимся к моменту остановки, является Задача о разборчивой невесте. Проблема момента остановки часто может быть указана в форме уравнения Беллмана и поэтому часто решается с помощью динамического программирования.

Концентрация меры — принцип, согласно которому при определённых достаточно общих и не слишком обременительных ограничениях значение функции большого числа переменных почти постоянно. Например, большинство пар точек на единичной сфере большой размерности находятся на расстоянии, близком к $\text{[math]}$ друг от друга.

Теорема Фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше $\text{[math]}$ и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой. В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины $\text{[math]}$ не может быть меньше $\text{[math]}$ .

Вариация поворота кривой — интеграл кривизны кривой по её длине.

Онлайновое машинное обучение — это метод машинного обучения, в котором данные становятся доступными в последовательном порядке и используются для обновления лучшего предсказания для последующих данных, выполняемого на каждом шаге обучения. Метод противоположен пакетной технике обучения, в которой лучшее предсказание генерируется за один раз, исходя из полного тренировочного набора данных. Онлайновое обучение является общей техникой, используемой в областях машинного обучения, когда невозможна тренировка по всему набору данных, например, когда возникает необходимость в алгоритмах, работающих с внешней памятью. Метод используется также в ситуациях, когда алгоритму приходится динамически приспосабливать новые схемы в данных или когда сами данные образуются как функция от времени, например, при предсказании цен на фондовом рынке. Алгоритмы онлайнового обучения могут быть склонны к катастрофическим помехам, проблеме, которая может быть решена с помощью подхода пошагового обучения.

Цена ана́рхии — концепция в экономике и теории игр, которая измеряет, насколько эффективность системы деградирует из-за эгоистического поведения её агентов.

Специальная теория относительности (СТО) описывает пространство-время в виде псевдориманова многообразия с одним отрицательным собственным значением метрического тензора, которое соответствует «временноподобному» направлению. Метрика с несколькими отрицательными собственными значениями будет соответственно подразумевать наличие нескольких временных направлений, то есть время будет многомерным, но в настоящее время нет консенсуса насчёт связи этих дополнительных «времён» с временем в обычном понимании.

<span class="mw-page-title-main">Профиль Фойгта</span>

Профиль Фойгта или распределение Фойгта представляет собой распределение вероятностей, полученное путём свёртки распределения Коши — Лоренца и распределения Гаусса. Он часто используется при анализе данных спектроскопии или дифракции.

Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности тела.

Тор Клифтона — Поля — пример компактного лоренцева многообразия, не являющегося геодезически полным. Пример показывает, что теорема Хопфа — Ринова не обобщается на псевдоримановы многообразия. Этот пример был построен Йитоном Клифтоном и Уильямом Полем в 1962 году.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.