Теорема Фату

Предположим, что у нас есть функция ${\displaystyle f}$, аналитическая в единичном круге ${\displaystyle \Delta =\{z:|z|<1\}}$. В определенных случаях необходимо установить условия, при которых она может быть аналитически продолжена на единичную окружность ${\displaystyle \partial \Delta }$.

Для этого применяется следующий метод — изучение поведения функции на окружностях вида ${\displaystyle {\partial \Delta }_{r}=\{z:|z|=r<1\}}$. Для этого введем вспомогательную функцию ${\displaystyle f_{r}(e^{i\varphi })=f(re^{i\varphi })}$. Видно, что поведение функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \partial \Delta }$ зависит от поведения семейства функций ${\displaystyle \{f_{r}\}}$ при ${\displaystyle r\to 1}$. Пользуясь терминологией функционального анализа, теперь можно сформулировать саму теорему:

Пусть ${\displaystyle f}$ аналитична в ${\displaystyle \Delta }$ и для неё конечна норма Харди:

${\displaystyle \lVert f\rVert _{H^{p}}=\sup _{0<r<1}\lVert f_{r}\rVert _{L^{p}(\partial \Delta )}<\infty }$

Тогда будет иметь место поточечная сходимость почти всюду семейства функций ${\displaystyle \{f_{r}\}}$ к некоторой функции ${\displaystyle f_{1}\in L^{p}(\partial \Delta )}$.