Теорема Фенхеля — Моро

Теорема Фенхеля — Моро — необходимое и достаточное условие того, что вещественнозначная функция равна своему двоекратному выпуклому сопряжению. При этом для любой функции верно, что $f^{**}\leqslant f$ ^[1]^[2].

Утверждение можно рассматривать как обобщение теоремы о биполяре^[англ.]^[1]. Она используется в теории двойственности для доказательства сильной двойственности (через функцию возмущений^[англ.]).

Теорема доказана для конечномерного случая Вернером Фенхелем в 1949 году и для бесконечномерного — Жан-Жаком Моро в 1960 году^[3].

Утверждение теоремы

Пусть $(X,\tau )$ будет хаусдорфовым локально выпуклым пространством. Для любой функции со значениями на расширенной числовой прямой $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ следует, что $f=f^{**}$ , где $f^{*}$ — выпуклое сопряжение к $f$ , тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

$f$ является собственной выпуклой функцией^[англ.] полунепрерывной снизу и выпуклой функцией,
$f\equiv +\infty$ , или
$f\equiv -\infty$ ^[1]^[4]^[5].

В геометрической формулировке теорема утверждает, что необходимым и достаточным условием того, чтобы надграфик функции был пересечением надграфиков аффинных функций, является выпуклость и замкнутость этой функции^[3].

Примечания

↑ ¹ ² ³ Borwein, Lewis, 2006, с. 76–77.
↑ Zălinescu, 2002, с. 75–79.
↑ ¹ ² Тихомиров В. Геометрия выпуклости // Квант. — 2003. — № 4.
↑ Lai, Lin, 1988, с. 85–90.
↑ Koshi, Komuro, 1983, с. 178–181.

Литература

Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН. — 1968. — Т. 23, № 6(144). — С. 51–116.
Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. — Иркутский государственный университет, 2009.
Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 9780387295701.
Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc., 2002. — ISBN 981-238-067-1.
Hang-Chin Lai, Lai-Jui Lin. The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Май (vol. 103). — doi:10.2307/2047532.
Shozo Koshi, Naoto Komuro. A generalization of the Fenchel–Moreau theorem // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. — 1983. — Т. 59, вып. 5.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Теорема Паскаля</span> Теорема проективной геометрии

Теоре́ма Паска́ля — классическая теорема проективной геометрии.

Выпуклой оболочкой множества $\text{[math]}$ называется наименьшее выпуклое множество, содержащее $\text{[math]}$ . «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения, он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Надгра́фик (эпиграф) — множество точек, лежащих над графиком данной функции.

Преобразование Лежандра для заданной функции $\text{[math]}$ — это построение функции $\text{[math]}$ , двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве $\text{[math]}$ , её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве $\text{[math]}$ , то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве $\text{[math]}$ .

Рефлексивное пространство — банахово пространство $\text{[math]}$ , совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным $\text{[math]}$ .

В функциональном анализе и связанных областях математики стереотипные пространства представляют собой класс топологических векторных пространств, выделяемый неким специальным условием рефлексивности. Этот класс обладает серией замечательных свойств, в частности, он весьма широк, он состоит из пространств, подчиненных определенному условию полноты, и образует замкнутую моноидальную категорию со стандартными аналитическими средствами построения новых пространств, такими как переход к замкнутому подпространству, факторпространству, проективному и инъективному пределам, пространству операторов, тензорным произведениям, и т. д.

Лемма Шепли — Фолкмана связывает две операции выпуклой геометрии — сложение по Минковскому и выпуклую оболочку. Лемма имеет приложения в ряде дисциплин, в том числе в математической экономике, оптимизации и теории вероятностей. Лемма и связанные с ней результаты позволяют дать утвердительный ответ на вопрос «Близка ли к состоянию выпуклости сумма нескольких множеств?».

<span class="mw-page-title-main">Задача со счастливым концом</span>

Задача со счастливым концом — утверждение о том, что любое множество из пяти точек на плоскости в общем положении имеет подмножество из четырёх точек, которые являются вершинами выпуклого четырёхугольника.

Выпуклый конус в линейной алгебре — подмножество векторного пространства над упорядоченным полем, которое замкнуто относительно линейных комбинаций с положительными коэффициентами.

Двойственность, или принцип двойственности, — принцип, по которому задачи оптимизации можно рассматривать с двух точек зрения, как прямую задачу или двойственную задачу. Решение двойственной задачи даёт нижнюю границу прямой задачи. Однако, в общем случае, значения целевых функций оптимальных решений прямой и двойственной задач не обязательно совпадают. Разница этих значений, если она наблюдается, называется разрывом двойственности. Для задач выпуклого программирования разрыв двойственности равен нулю при выполнении условий регулярности ограничений.

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке. Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций, то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как его расширение.

Условие Слейтера — это достаточное условие для строгой двойственности в задаче выпуклой оптимизации. Условие названо именем Мортона Л. Слейтера. Неформально условие Слейтера утверждает, что допустимая область должна иметь внутреннюю точку.

Сильная двойственность — это условие математической оптимизации, в котором оптимальные значения для прямой и двойственной задач равны. Это противоположно понятию слабой двойственности, когда прямая задача имеет оптимальное значение, не меньшее, чем у двойственной задачи, то есть разрыв двойственности больше либо равно нулю.

Разрыв двойственности — это разница между прямым и двойственным решениями. Если $\text{[math]}$ является оптимальным значением двойственной задачи, а $\text{[math]}$ является оптимальным значением прямой задачи, то разрыв двойственности равен $\text{[math]}$ . Это значение всегда больше либо равно нулю. Разрыв двойственности равен нулю тогда и только тогда, когда имеет место сильная двойственность. В противном случае разрыв строго положителен, и имеет место слабая двойственность.

Выпуклое программирование — это подобласть математической оптимизации, которая изучает задачу минимизации выпуклых функций на выпуклых множествах. В то время как многие классы задач выпуклого программирования допускают алгоритмы полиномиального времени, математическая оптимизация в общем случае NP-трудна.

Выпуклое сопряжение функции — это обобщение преобразования Лежандра, которое применяется к невыпуклым функциям. Оно известно также как преобразование Лежандра — Фенхеля или преобразование Фенхеля. Сопряжение используется для преобразования задачи оптимизации в соответствующую двойственную задачу, которую, возможно, проще решить.

Теорема двойственности Фенхеля — это результат в теории выпуклых функций, носящий имя немецкого математика Вернера Фенхеля.

<span class="mw-page-title-main">Выпуклый анализ</span>

Выпуклый анализ — это ветвь математики, посвящённая изучению свойств выпуклых функций и выпуклых множеств, часто имеющая приложения в выпуклом программировании, подобласти теории оптимизации.

Дивергенция Брэгмана — мера расстояния между двумя точками, определённая в терминах строго выпуклой функции. Они образуют важный класс дивергенций. Если точки интерпретировать как распределение вероятностей, либо как значения параметрической модели, либо как набор наблюдаемых значений, то полученное расстояние является статистическим расстоянием. Самой элементарной дивергенцией Брэгмана является квадрат евклидова расстояния.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.