Теорема Хана — Банаха

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности

• Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты;
• Теорему о разделении выпуклых множеств;
• Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала.

Пусть ${\displaystyle X}$ — линейное, или векторное, пространство над полем действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ — положительно однородный субаддитивный функционал. Для любого линейного подпространства ${\displaystyle Y}$ линейного пространства ${\displaystyle X}$ каждый линейный функционал ${\displaystyle f:Y\to \mathbb {R} }$, удовлетворяющий условию

${\displaystyle f(y)\leqslant p(y),\forall y\in Y}$,

может быть продолжен на все пространство ${\displaystyle X}$ с сохранением этого неравенства.

Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или субаддитивности функционала ${\displaystyle p}$ для справедливости этой теоремы недостаточно.

Контрпример для положительно однородного функционала: ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle Y=\{0\}}$, ${\displaystyle p(x):=-|x|,x\in X,f(0)=0}$.

Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда ${\displaystyle p}$ — полунорма.

Всякий линейный ограниченный функционал ${\displaystyle f}$, определённый на линейном многообразии ${\displaystyle Y}$ линейного нормированного пространства ${\displaystyle X}$, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Для любых двух различных точек линейного нормированного пространства или локально выпуклого пространства существует линейный непрерывный функционал, определённый на всем пространстве, для которого его значения в этих точках различны.

Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть ${\displaystyle z\in X\setminus Y}$. Рассмотрим линейное пространство вида:

${\displaystyle Y_{z}\doteq \left\{y+az,\ y\in Y,\ a\in \mathbb {R} \right\}.}$

Продолжение ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle Y_{z}}$ запишем:

${\displaystyle {\tilde {f}}(y+az)\doteq f(y)+a{\tilde {f}}(z),}$

где ${\displaystyle {\tilde {f}}(z)}$ — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$ и ${\displaystyle a,b>0}$ выполняется:

${\displaystyle f(ay_{1}+by_{2})=(a+b)f\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)\leqslant }$

${\displaystyle {}\leqslant (a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)=}$

${\displaystyle {}=(a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}(y_{1}-bz)+{\frac {b}{a+b}}(y_{2}+az)\right)\leqslant }$

${\displaystyle \leqslant ap(y_{1}-bz)+bp(y_{2}+az).}$

Отсюда

${\displaystyle a\left(f(y_{1})-p(y_{1}-bz)\right)\leqslant -b\left(f(y_{2})-p(y_{2}+az)\right)}$

Как следствие

${\displaystyle {\frac {1}{b}}\left(-p(y_{1}-bz)+f(y_{1})\right)\leqslant {\frac {1}{a}}\left(p(y_{2}+az)-f(y_{2})\right)\quad \forall \ y_{1},y_{2}\in Y,\quad \forall a,b>0.}$

Определим ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ так

${\displaystyle \sup _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{a}}\left[-p(y-az)+f(y)\right]\right\}\leqslant c\leqslant \inf _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{a}}\left[p(y+az)-f(y)\right]\right\}.}$

Выполняется равенство

${\displaystyle ac\leqslant p(y+az)-f(y)\quad \forall \ y\in Y,\quad \forall \ a\in \mathbb {R} }$.

Определим

${\displaystyle {\tilde {f}}(z)=c.}$

Для всех ${\displaystyle y\in Y}$ и произвольных ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ выполняется неравенство:

${\displaystyle {\tilde {f}}(y+az)=f(y)+ac\leqslant p(y+az),}$

поэтому

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\leqslant p(x)\quad \forall \ x\in Y_{z}.}$

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть ${\displaystyle E}$ является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

• Выпуклый функционал
• Банаховы пределы

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.
• Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
• Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.