Теорема Хартогса

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Хартогса — утверждение о достаточных условиях аналитичности функции нескольких комплексных переменных. В случае нескольких комплексных переменных достаточным условием аналитичности является аналитичность по каждому переменному. Для функций действительных переменных это неверно: функция $f(x,y)={\frac {xy}{(x^{2}+y^{2})}},f(0,0)=0$ бесконечно дифференцируема по $x$ (или $y$ ) когда $y$ (или $x$ ) является фиксированным, но $f$ даже не является непрерывной в начале координат.

Формулировка

Если комплекснозначная функция $F$ определена в открытом множестве $\Omega$ $n$ -мерного комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ и аналитическая по каждому переменному $z_{j}$ , когда другие переменные фиксированы, то функция $F$ является аналитической в $\Omega$ .

История

При дополнительном предположении непрерывности, это утверждение иногда называется леммой Осгуда, её доказал Вильям Осгуд^[1]

Примечания

↑ Osgood, William F. (1899), "Note über analytische Functionen mehrerer Veränderlichen", Mathematische Annalen, 52, Springer Berlin / Heidelberg: 462—464, doi:10.1007/BF01476172, ISSN 0025-5831

Литература

Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — М.: Мир, 1968. — 280 с.

Похожие исследовательские статьи

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\text{[math]}$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $\text{[math]}$ , значения $\text{[math]}$ которой численно выражают исходы $\text{[math]}$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\text{[math]}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Экспоне́нта — показательная функция $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — число Эйлера.

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года.

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Однородная функция степени $\text{[math]}$ — числовая функция $\text{[math]}$ такая, что для любого $\text{[math]}$ из области определения функции $\text{[math]}$ и любого $\text{[math]}$ выполняется равенство:

\text{[math]}

Пeрeда́точная фу́нкция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию $\text{[math]}$ комплексного переменного (изображение) с функцией $\text{[math]}$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Z-преобразованием называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты $\text{[math]}$ , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Числова́я фу́нкция — функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество). Числовые множества — это множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел вместе с определёнными для соответствующих множеств алгебраическими операциями. Для всех перечисленных числовых множеств, кроме комплексных чисел, определено также отношение линейного порядка, позволяющее сравнивать числа по величине. Числовые пространства — это числовые множества вместе с функцией расстояния, заданной на соответствующем множестве.

Тео́рия автомати́ческого управле́ния (ТАУ) — научная дисциплина, которая изучает процессы автоматического управления объектами разной физической природы. При этом при помощи математических средств выявляются свойства систем автоматического управления и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют $\text{[math]}$ -функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ $\text{[math]}$ .

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ — произвольные множества, а $\text{[math]}$ — совокупность всех подмножеств множества $\text{[math]}$ Многозначным отображением из множества $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ называется всякое отображение $\text{[math]}$ Обычно областью определения многозначного отображения $\text{[math]}$ является подмножество $\text{[math]}$ , а областью значений — пространство $\text{[math]}$ состоящее из непустых компактных подмножеств множества $\text{[math]}$ то есть $\text{[math]}$

Пример 1. Пусть $\text{[math]}$ . Ставя в соответствие каждому значению $\text{[math]}$ отрезок $\text{[math]}$ мы получаем многозначное отображение $\text{[math]}$

Пример 2. Пусть $\text{[math]}$ — непрерывная функция. Положим $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Ставя в соответствие каждому значению $\text{[math]}$ множество $\text{[math]}$ мы получаем многозначное отображение $\text{[math]}$

Пример 3. Контингенция и паратингенция.

Гиперфункция (математика) — развитие понятия обобщённой функции. Гиперфункция одной переменной является разностью предельных значений на вещественной оси двух голоморфных функций, определённых, соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости. Гиперфункции многих переменных определены как элементы некоторой когомологической группы с коэффициентами в пучке голоморфных функций. Гиперфункции были открыты Микио Сато в 1958 году.

Комплексная дифференциальная форма — дифференциальная форма с комплексными коэффициентами, обычно рассматривается на комплексных многообразиях.

Вещественно-аналитическая функция — вещественная функция, представимая в окрестности каждой точки степенным рядом. Эквивалентное определение: вещественная функция, равная в окрестности каждой точки области определения своему ряду Тейлора.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.