Теорема Хобби — Райса

Теорема Хобби — Райса впервые появилась и была доказана в 1965 г. ^[1] при рассмотрении вопросов оптимальной аппроксимации функций в лабеговом пространстве ${\displaystyle L_{1}}$. Более простое доказательство теоремы было дано Пинкусом^[2] в 1976 году. Также используется в задачах справедливого дележа.

Разобьем отрезок [0,1] последовательностью чисел ${\displaystyle \{z_{i}\}}$ на ${\displaystyle k+1}$ подынтервалов:

${\displaystyle 0=z_{0}<z_{1}<\dotsb <z_{k}<z_{k+1}=1}$

Определим знаковое разбиение как разбиение, в котором каждый подынтервал ${\displaystyle i}$ имеет ассоциированный знак ${\displaystyle \delta _{i}}$:

${\displaystyle \delta _{1},\dotsc ,\delta _{k+1}\in \left\{+1,-1\right\}}$

Теорема Хобби — Райса утверждает, что для любых k непрерывно интегрируемых функций:

${\displaystyle g_{1},\dotsc ,g_{k}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} }$

существует знаковое разбиение отрезка [0,1], такое что:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}\delta _{i}\!\int _{z_{i-1}}^{z_{i}}g_{j}(z)\,dz=0{\text{ for }}1\leqslant j\leqslant k.}$

(другими словами, для каждой из k функций её интеграл по положительным подынтервалам равен её интегралу по отрицательным подынтервалам).

Пусть существует ${\displaystyle n}$ действительных функций ${\displaystyle \left\{\varphi (x)\right\}_{i=1}^{n}}$ в лабеговом пространстве ${\displaystyle L_{1}([0,1],\mu )}$, где ${\displaystyle \mu }$ есть конечная безатомная мера на ${\displaystyle [0,1]}$ . Тогда существуют ${\displaystyle \{z_{i}\}_{i=1}^{r}}$, ${\displaystyle r\leq n}$, ${\displaystyle 0=z_{0}<z_{1}<\ldots <z_{r}<z_{r+1}=1}$ такие, что

${\displaystyle \sum _{j=1}^{r+1}(-1)^{j}\int _{z_{j-1}}^{z_{j}}\varphi _{i}(x)d\mu (x)=0\qquad i=1,\ldots ,n}$.

Н. Алон в 1987г. при решении задачи о разрезании ожерелья^[3] сформулировал и доказал обобщенную теорему Хобби-Райса.

Пусть на единичном отрезке задано ${\displaystyle t}$ непрерывных вероятностных мер ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{t}}$. Тогда возможно разрезать единичный интервал в ${\displaystyle (k-1)\cdot t}$ местах и сформировать из ${\displaystyle (k-1)\cdot t+1}$ получившихся кусков ${\displaystyle k}$ семейств ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots ,F_{k}}$, таких что ${\displaystyle \mu _{i}(\cup F_{j})={1 \over k}}$ для всех ${\displaystyle 1\leq i\leq t,\ 1\leq j\leq k}$.

В случае ${\displaystyle k=2}$ получаем теорему Хобби-Райса.

Пусть отрезок [0,1] будет тортом. Имеется k участников и каждая из k функций является функцией плотности значений для одного участника. Нам нужно разделить торт на две части так, что все участники соглашаются, что части имеют одинаковые величины. Эта задача справедливого дележа иногда называется задачей согласованного разрезания пополам ^[4]. Из теоремы Хобби — Райса следует, что это можно сделать с помощью k разрезов.