Теорема Хопфа — Ринова
Теорема Хопфа — Ринова — теорема дифференциальной геометрии, доказанная Хайнцем Хопфом и его учеником Вилли Риновым. Опубликована последним в 1931 году[1].
Формулировка
Для линейно связного риманова многообразия следующие утверждения эквивалентны:
- ― полно (то есть риманово многообразие полно как метрическое пространство);
- для каждой точки экспоненциальное отображение определено на всем (где ― касательное пространство к в точке );
- каждое множество, ограниченное и замкнутое в , компактно.
Следствия
- Любые две точки и в линейно связном полном римановом многообразии можно соединить геодезической длины равной расстоянию между и ;
- Любая геодезическая в линейно связном полном римановом многообразии продолжается неограниченно.
Вариации и обобщения
- Теорема Хопфа — Ринова верна для пространств с внутренней метрикой, не обязательно римановой (например, финслеровой)[2]: если — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любое замкнутое ограниченное множество в компактно. В частности любые две точки пространства можно соединить кратчайшей.[3]
- Это утверждение было обобщено на случай несимметричных метрик.[4]
- Теорема Хопфа — Ринова не верна в бесконечномерном случае[5], а также в случае псевдоримановых многообразий[6].
- Более того, существуют компактные лоренцевы многообразия, не являющиеся геодезически полным, например тор Клифтона — Поля.
Примечания
- ↑ Hopf, H.; Rinow, W. Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche (нем.) // [Commentarii Mathematici Helvetici : magazin. — 1931. — Bd. 3, Nr. 1. — S. 209—225. — doi:10.1007/BF01601813.
- ↑ Menger, Karl. "Untersuchungen über allgemeine Metrik." Mathematische Annalen 100 (1925); 105 (1930).
- ↑ Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4. теорема 2.5.28.
- ↑ Cohn-Vossen, Stefan. "Existenz kürzester Wege." Compositio Mathematica 3 (1936): 441-452; переводено в Кон-Фоссен, С. Э. "О существовании кратчайших путей." Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. М.: Физматгиз (1959): 288-303.
- ↑ Atkin, C. J. (1975), "The Hopf–Rinow theorem is false in infinite dimensions" (PDF), The Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (3): 261—266, doi:10.1112/blms/7.3.261, MR 0400283.
- ↑ O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, vol. 103, Academic Press, p. 193, ISBN 9780080570570, Архивировано из оригинала 14 мая 2021, Дата обращения: 3 октября 2017.
Литература
- Д. Громол, В. Клингенберг, В. Мейер, Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
- С. Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
- В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 5: Римановы многообразия