Теорема Чаплыгина

Теоре́ма Чаплы́гина — теорема существования решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит С. А. Чаплыгину (1919 г.)^[1]. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.

Формулировка теоремы

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием в точке $x=a$ :

y'=f(x,y),\quad x\in (a,b],

(1.1)

y(a)=y^{a}.

(1.2)

Чтобы сформулировать теорему Чаплыгина для задачи (1.1—1.2), понадобится ряд определений.

Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (1.1—1.2) называются соответственно функции ${\underline {\omega }}(x)$ и ${\overline {\omega }}(x)$ , принадлежащие $C^{1}[a,b]$ , и такие, что

1)\ {\underline {\omega }}(a)<y^{a}<{\overline {\omega }}(a),

(2.1)

2){\begin{array}{c}{\underline {\omega }}'(x)<f(x,{\underline {\omega }}(x)),\\[.5ex]{\overline {\omega }}'(x)>f(x,{\overline {\omega }}(x)),\end{array}}\ \forall x\in [a,b].

(2.2)

Определение. Классическим решением задачи (1.1—1.2) называется функция $y(x)$ , принадлежащая $C^{1}(a,b]\cap C[a,b]$ и удовлетворяющая уравнению (1.1) при каждом $x\in (a,b]$ и начальному условию (1.2).

Теорема (Чаплыгина). Пусть существуют такие нижнее ${\underline {\omega }}(x)$ и верхнее ${\overline {\omega }}(x)$ решения задачи (1.1—1.2), что

\ f(x,y)\in C({\mathfrak {B}}),

(3.1)

где ${\mathfrak {B}}\equiv [a,b]\times [{\underline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}(x)]$ . Тогда на отрезке $[a,b]$ существует по крайней мере одно классическое решение $y(x)$ задачи (1.1—1.2), и для каждого решения этой задачи и любого $x\in [a,b]$ справедливо:

{\underline {\omega }}(x)<y(x)<{\overline {\omega }}(x).

(3.2)

См. также

Теорема Нагумо

Примечания

↑ Боголюбов, 1983, с. 516.

Литература

Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
Комленко Ю. В. Теорема Чаплыгина для линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Матем. заметки, 1967, 2, № 3. — С. 301—306.
Мышкис А. Д. И. М. Виноградов. Чаплыгина теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. Т. 5. — М.: Сов. энциклопедия, 1985.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Дифференциальное уравнение</span> уравнение, в котором есть производные от неизвестной функции

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, которое помимо функции содержит её производные. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен. Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным. Например, $\text{[math]}$ не является дифференциальным уравнением.

<span class="mw-page-title-main">Формула конечных приращений</span>

Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция $\text{[math]}$ непрерывна на отрезке $\text{[math]}$ и дифференцируема в интервале $\text{[math]}$ , то найдётся такая точка $\text{[math]}$ , что

\text{[math]}

Уравне́ние Шрёдингера — линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах.

Дифференциа́льная фо́рма порядка $\text{[math]}$ , или $\text{[math]}$ -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $\text{[math]}$ на многообразии.

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений ; состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям.

<span class="mw-page-title-main">Параболическое уравнение</span>

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению, задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Обыкновенное дифференциальное уравне́ние (ОДУ) — дифференциальное уравнение для функции от одной переменной Таким образом, ОДУ — уравнения вида

\text{[math]}

Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию $\text{[math]}$ комплексного переменного (изображение) с функцией $\text{[math]}$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Дифференциа́льный опера́тор — оператор, определённый некоторым дифференциальным выражением и действующий в пространствах функций на дифференцируемых многообразиях или в пространствах, сопряжённых к пространствам этого типа.

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние. Названа в честь Карла Неймана.

Тео́рия автомати́ческого управле́ния (ТАУ) — научная дисциплина, которая изучает процессы автоматического управления объектами разной физической природы. При этом при помощи математических средств выявляются свойства систем автоматического управления и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

Пространство Соболева — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега $\text{[math]}$ , имеющих обобщённые производные заданного порядка $\text{[math]}$ оттуда же.

Теория Фредгольма — раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле — изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке — представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.

Численные (вычислительные) методы — методы решения математических задач в численном виде.

Зада́ча Гурса́ — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.

Теорема Нагу́мо — теорема существования решения краевой задачи первого рода для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит японскому математику Ми́тио Нагумо. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.

Разрывный метод Галёркина — метод решения операторных уравнений, в основном дифференциальных уравнений. Является развитием классического метода конечных элементов (МКЭ), основанного на вариационной постановке Галёркина.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.