Теорема Штольца

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Штольца — утверждение математического анализа, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь опубликовавшего в 1885 году её доказательство австрийского математика Отто Штольца[1]. По своей природе теорема Штольца является дискретным аналогом правила Лопиталя.

Формулировка

Пусть и  — две последовательности вещественных чисел, причём положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел

,

то существует и предел

,

причём эти пределы равны.

Доказательство

Ниже приводится доказательство по Фихтенгольцу[2], другое доказательство приведено в книге Архипова, Садовничего и Чубарикова[3].

Допустим сначала, что предел равен конечному числу , тогда для любого заданного существует такой номер , что при будет иметь место:

.

Значит, для любого все дроби:

лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности ), то, по свойству медианты, между теми же границами содержится и дробь:

,

числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при :

.

Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):

,

откуда имеем

.

Второе слагаемое при становится меньше , первое слагаемое также станет меньше , при , где  — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что . Если взять , то при будем иметь

,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости:

,

из этого следует, что при достаточно больших :

и
,

причём последовательность строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению :

,

откуда и следует, что:

.

Если предел равен , то нужно рассмотреть последовательность .

Следствие

Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность сходится к числу , то последовательность средних арифметических сходится к этому же числу.

Примечания

  1. Otto Stolz. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (нем.). — Leipzig: Teubners, 1885. — S. 173—175.
  2. Фихтенгольц, 2003.
  3. Архипов, Садовничий, Чубариков, 1999.

Литература