Теорема Эйлера о треугольнике

Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году.^[1] Однако тот же результат был получен ранее Уильямом Чапплом^[англ.] в 1746 году^[2].

Расстояние ${\displaystyle d}$ между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

${\displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr.}$

где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности.

В 1969 году Георгий Александров дал развернутую формулу:

${\displaystyle d^{2}={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника.

• Приведённую формулу можно переписать следующим образом

  ${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}}$.

или

${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}$

• Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера

  ${\displaystyle R\geq 2r}$.

  • Существует более сильная форма этого неравенства^{[3]:с. 198}, а именно:

    ${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника.

• Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

Пусть ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности треугольника ${\displaystyle \Delta ABC}$, а ${\displaystyle I}$ — центр вписанной окружности. Если луч ${\displaystyle AI}$ пересекает описанную окружность в точке ${\displaystyle L}$, то ${\displaystyle L}$ является средней точкой дуги ${\displaystyle BC}$. Проведём луч ${\displaystyle LO}$ и обозначим его точку пересечения с описанной окружностью как ${\displaystyle M}$. Тогда ${\displaystyle LM}$ будет диаметром описанной окружности. Из точки ${\displaystyle I}$ опустим перпендикуляр ${\displaystyle ID}$ на ${\displaystyle AB.}$ Тогда ${\displaystyle ID=r.}$ Запишем формулу Эйлера немного в другом виде

${\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr.}$

Можно заметить, что слева стоит степень точки ${\displaystyle I}$ относительно описанной окружности (если быть точным, то минус степень точки). То есть, достаточно доказать равенство ${\displaystyle LI\cdot IA=2Rr}$. По лемме о трезубце ${\displaystyle LI=LB,}$ значит, достаточно доказать, что ${\displaystyle LB\cdot IA=2Rr}$. Теперь заметим, что ${\displaystyle 2R=LM}$ и ${\displaystyle r=ID,}$ то есть, требуемое равенство можно переписать в виде ${\displaystyle LB\cdot IA=LM\cdot ID.}$ Перепишем его ещё немного: ${\displaystyle LB/LM=ID/IA}$. Это равенство следует из подобия треугольников ${\displaystyle \triangle AID}$ и ${\displaystyle \triangle MLB}$. В самом деле, углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ у этих треугольников прямые, а углы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle M}$ равны, потому что оба опираются на дугу ${\displaystyle BL}$ (более того, отношение ${\displaystyle LB/LM=ID/IA}$ равно синусу угла ${\displaystyle \angle BAL}$).

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

${\displaystyle (R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},}$

где ${\displaystyle r_{out}}$ — радиус одной из вневписанных окружностей, а ${\displaystyle d_{out}}$ — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности^[4][5][6].

• Для радиусов ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$ соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния ${\displaystyle d=x}$ между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

  ${\displaystyle {\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(R-d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$,

или эквивалентно,

${\displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$

• Это соотношение называют Теоремой Фусса^[англ.]. Оно получено Николаем Ивановичем Фуссом^[7] в 1792 году.

• Теорема Кэли о цепи Понселе обобщает теорему Эйлера на вписанно-описанные ${\displaystyle n}$-угольники^[1].

• Поризм Понселе

• Weisstein, Eric W. Euler Triangle Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.