Теорема Эрдёша — Каца

Теорема Эрдёша — Каца — утверждение в теории чисел, которое связывает распределение числа разных простых делителей больших чисел с формулами предельных законов теории вероятностей. Этот результат теории чисел, полученный Палом Эрдёшом и Марком Кацем в 1940 году утверждает, что если $\omega (n)$ — число различных простых делителей числа $n$ , то предельное распределение величины

{\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}

является стандартным нормальным распределением. Это глубокое обобщение теоремы Харди — Рамануджана, которая утверждает, что «среднее» значение $\omega (n)$ равно $\log \log n$ , а «среднее отклонение» не более ${\sqrt {\log \log n}}$ .

Теорема

Более формально теорема утверждает, что для любых фиксированных $a<b$ выполнено:

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{x}}\left|\left\{n\leq x:a\leq {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}\leq b\right\}\right|=\Phi (a,b)

,

где

\Phi (a,b)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}/2}\,dt.

.

Оригинальное доказательство

В оригинальном доказательстве^[1] утверждение о нормальности распределения в первой лемме теоремы основано на том, что функция $\omega (n)$ является аддитивной и может быть представлена как сумма индикаторов делимости на простые числа. Далее, не вводя понятие случайной величины, авторы утверждают, что слагаемые-индикаторы независимы^[2]. Затем не вдаваясь в подробности, авторы ссылаются на источник^[3], где нормальность распределения доказывается для сумм слабозависимых случайных величин^[4]. В конце доказательства авторы извиняются за поверхностность «статистической»^[5] леммы.

В 1958 году Альфред Реньи и Пал Туран дали более точное доказательство.

Особенности

В теореме идёт речь о распределении детерминированных величин, а не о распределении вероятностей случайной величины. Но если на достаточно большом отрезке натуральных чисел выбирать случайно число $n$ , то число различных простых делителей этого числа будет иметь приблизительно нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией равным среднему значению $\log \log n$ на отрезке. Поскольку эта функция, называемая повторным логарифмом, растёт медленно, то такое усреднение не будет приводить к большой ошибке даже на очень длинных отрезках. Вид распределения связывает теорему Эрдёша — Каца с центральной предельной теоремой.

Скорость роста повторного логарифма

Повторный логарифм — это чрезвычайно медленно растущая функция. В частности, числа до миллиарда содержат в разложении на простые в среднем три простых числа.

Например 1 000 000 003 = 23 × 307 × 141 623.

n	Число знаков в n	Среднее число простых чисел в разложении	среднее отклонение
1000	4	2	1,4
1 000 000 000	10	3	1,7
1 000 000 000 000 000 000 000 000	25	4	2
10⁶⁵	66	5	2,2
10⁹⁵⁶⁶	9567	10	3,2
10^{210 704 568}	210 704 569	20	4,5
10^10²²	10²²+1	50	7,1
10^10⁴⁴	10⁴⁴+1	100	10
10^10⁴³⁴	10⁴³⁴+1	1000	31,6

Если заполнить шар размером с Землю песком, потребуется около 10³³ песчинок. Для заполнения видимой части вселенной потребовалось бы 10⁹³ песчинок. Там же может поместиться 10¹⁸⁵ квантовых струн.

Числа такого размера — с 186 знаками — в среднем состоят лишь из 6 простых чисел в разложении.

Примечания

↑ Paul Erdős, Mark Kac. The Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Number Theoretic Functions // American Journal of Mathematics. — 1940. — Т. 62, № 1/4. — С. 738—742. Архивировано 17 октября 2014 года. (MR2, 42c ; Zentralblatt 24, 102
↑ Если число $n$ делится на $m$ , то оно не делится на простое $p>{\frac {n}{m}}$ . Значит, если несколько индикаторов приняли значение 1, то остальные индикаторы равны 0. Индикаторы слабо взаимозависимы и, кроме того, имеют разные распределения.
↑ Cf. for instance the first chapter of S. Bernstein’s paper, "Sur I’extension du theoreme limite du calcul des probabilites aux sommes de quantites dependantes", Mathematische Annalen, vol. 97, pp. 1-59.
↑ Взаимозависимость слагаемых видимо предполагается, но не уточняется.
↑ Кавычки авторов.