Теорема геометризации

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема геометризации утверждает, что замкнутое ориентируемое трёхмерное многообразие, в котором любая вложенная сфера ограничивает шар, разрезается несжимающимися торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных геометрий.

Теорема геометризации для трёхмерных многообразий является аналогом теоремы униформизации для поверхностей. Она была предложена в виде гипотезы Уильямом Тёрстоном в 1982, и обобщает другие гипотезы, например, гипотезу Пуанкаре и гипотезу эллиптизации Тёрстона[англ.].

Используя поток Риччи, в 2002 году Григорий Перельман доказал гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и, в частности, доказал гипотезу Пуанкаре.

Литература

  • Скотт П. (Scott) Геометрии на трехмерных многообразиях. Мат.НЗН 39, Мир, 1986.
  • Тёрстон Трехмерная геометрия и топология. М., МЦНМО, 2001.
  • L. Bessieres, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot, J. Porti, 'Geometrisation of 3-manifolds', EMS Tracts in Mathematics, volume 13. European Mathematical Society, Zurich, 2010. [1]
  • M. Boileau Geometrization of 3-manifolds with symmetries
  • F. Bonahon Geometric structures on 3-manifolds Handbook of Geometric Topology (2002) Elsevier.
  • Allen Hatcher: Notes on Basic 3-Manifold Topology 2000
  • J. Isenberg, M. Jackson, Ricci flow of locally homogeneous geometries on a Riemannian manifold, J. Diff. Geom. 35 (1992) no. 3 723—741.
  • G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, 2002
  • G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds, 2003
  • G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, 2003
  • Bruce Kleiner and John Lott, Notes on Perelman’s Papers (May 2006) (fills in the details of Perelman’s proof of the geometrization conjecture).
  • Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures: Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow (англ.) // Asian Journal of Mathematics[англ.] : journal. — 2006. — June (vol. 10, no. 2). — P. 165—498. Архивировано 13 августа 2006 года. Архивная копия от 13 августа 2006 на Wayback Machine Revised version (December 2006): Hamilton-Perelman’s Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture
  • John W. Morgan. Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds. Bulletin Amer. Math. Soc. 42 (2005) no. 1, 57-78 (expository article explains the eight geometries and geometrization conjecture briefly, and gives an outline of Perelman’s proof of the Poincaré conjecture)
  • Morgan, John W.; Fong, Frederick Tsz-Ho. Ricci Flow and Geometrization of 3-Manifolds (англ.). — 2010. — (University Lecture Series). — ISBN 978-0-8218-4963-7.
  • Scott, Peter The geometries of 3-manifolds. (errata) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), no. 5, 401—487.
  • Thurston, William P. Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry (англ.) // American Mathematical Society. Bulletin. New Series : journal. — 1982. — Vol. 6, no. 3. — P. 357—381. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0273-0979-1982-15003-0. This gives the original statement of the conjecture.
  • William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5 (in depth explanation of the eight geometries and the proof that there are only eight)
  • William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds, 1980 Princeton lecture notes on geometric structures on 3-manifolds.