Теорема об инвариантности области

Теорема об инвариантности области утверждает, что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт.

История

Теорема доказана Брауэром.^[1] Доказательство основано на теореме Брауэра о неподвижной точке. Существует вариант доказательства, основанный на лемме Шпернера.^[2]

Формулировка

Пусть $U$ — открытое подмножество в $\mathbb {R} ^{n}$ , и $f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ — инъективное непрерывное отображение. Тогда образ $B=f(U)$ является открытым подмножеством в $\mathbb {R} ^{n}$ , и $f$ задаёт гомеоморфизм между $U$ и $B$ .

Not a homeomorphism onto its image — Образ инъективного непрерывного отображения открытого интервала в плоскость, негомеоморфное исходному интервалу.

Замечания

Заключение теоремы можно сформулировать так:
- $f$ является открытым отображением.
Как видно на картинке, утверждение теоремы неверно для отображений между евклидовыми пространствами разной размерности.
Также теорема неверна в бесконечномерном случае. Например, отображение правого сдвига
$(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )$

гильбертова пространства в себя является непрерывным и инъективным, но не является открытым.

Следствия

Из теоремы немедленно следует, что евклидовы пространства разной размерности не гомеоморфны.
С помощью теоремы доказываются многие теоремы существования для выпуклых многогранников, в том числе существование выпуклого многогранника с данной развёрткой.^[3]

Вариации и обобщения

Теорема об инвариантности области допускает прямое обобщение на отображения между многообразиями равной размерности.
Существуют также обобщения некоторых видов непрерывных отображений из Банахова пространства в себя.^[4]

Примечеания

↑ Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), pages 305–315; см. также 72 (1912), pages 55–56
↑ Александров А. Д. Избранные труды. — Новосибирск: Наука, 2007. — Т. 2 (Выпуклые многогранники). — iv + 492 с. — 700 экз. — ISBN 978-5-02-023184-9. Архивировано 5 марта 2016 года.
↑ А. Д. Александров. Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках // Изв. АН СССР. Сер. матем.. — 1937. — Т. 1, № 4. — С. 597—608.
↑ Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach.

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Нормированное пространство — векторное пространство с заданной на нём нормой; один из основных объектов изучения функционального анализа.

<span class="mw-page-title-main">Гомеоморфизм</span>

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Лине́йно свя́зное простра́нство — топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Теорема даёт условие на семейство выпуклых множеств, гарантирующее то, что это семейство имеет непустое пересечение.

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Си́мплекс или n-ме́рный тетра́эдр — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Теорема Киршбрауна о продолжении — теорема о существовании продолжения липшицевой функции определённой на подмножестве евклидова пространства на всё пространство.

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ — произвольные множества, а $\text{[math]}$ — совокупность всех подмножеств множества $\text{[math]}$ Многозначным отображением из множества $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ называется всякое отображение $\text{[math]}$ Обычно областью определения многозначного отображения $\text{[math]}$ является подмножество $\text{[math]}$ , а областью значений — пространство $\text{[math]}$ состоящее из непустых компактных подмножеств множества $\text{[math]}$ то есть $\text{[math]}$

Пример 1. Пусть $\text{[math]}$ . Ставя в соответствие каждому значению $\text{[math]}$ отрезок $\text{[math]}$ мы получаем многозначное отображение $\text{[math]}$

Пример 2. Пусть $\text{[math]}$ — непрерывная функция. Положим $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Ставя в соответствие каждому значению $\text{[math]}$ множество $\text{[math]}$ мы получаем многозначное отображение $\text{[math]}$

Пример 3. Контингенция и паратингенция.

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

Теорема об обратной функции даёт достаточные условия для существования обратной функции в окрестности точки через производные от самой функции.

Теорема монотонности Александрова — теорема о выпуклых многогранниках, доказанная А. Д. Александровым в 1937 году,,.

Валюация — обобщение понятия меры, обычно определяемое на выпуклых множествах евклидова пространства.

Теорема о бутерброде утверждает, что если дано n измеримых «объектов» в n-мерном евклидовом пространстве, их можно разделить пополам (согласно их мере, то есть объёме) с помощью одной (n − 1)-мерной гиперплоскости.

Основная теорема аффи́нной геометрии говорит, что биективное отображение евклидовой плоскости в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием, то есть оно записывается в координатах как

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.