Теорема об обратной функции

Теорема об обратной функции даёт достаточные условия для существования обратной функции в окрестности точки через производные от самой функции.

Теорема обобщается на вектор-функции. Есть также варианты теоремы об обратной функции для голоморфных функций, для гладких отображений между многообразиями, для гладких функций между Банаховыми пространствами.

Для функции одной переменной теорема гласит, что если ${\displaystyle f}$ является непрерывно дифференцируемой функцией с ненулевой производной в точке ${\displaystyle a}$, то ${\displaystyle f}$ обратима в окрестности ${\displaystyle a}$. Более того, обратная функция является непрерывно дифференцируемой, и

${\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(f(a))={\frac {1}{f'(a)}}.}$

Если матрица Якоби от непрерывно дифференцируемой функции ${\displaystyle F}$, действующей из открытого подмножества пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, обратима в точке ${\displaystyle p}$, то и сама функция ${\displaystyle F}$ является обратимой в окрестности ${\displaystyle p}$.

• Вторая часть теоремы следует из правила дифференцирования композиции функций.
• Существование обратной функции ${\displaystyle F}$ эквивалентно высказыванию, что система ${\displaystyle n}$ уравнений ${\displaystyle y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ может иметь решение ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ при данных ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$, предполагая, что ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ лежат в малых окрестностях ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle F(p)}$, соответственно.

Рассмотрим вектор-функцию ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y}\\\end{bmatrix}}.}$

Матрица Якоби ${\displaystyle F}$ имеет вид

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y},&{-e^{x}{\cdot }\sin y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y},&{e^{x}{\cdot }\cos y}\\\end{bmatrix}}.}$

Её определитель:

${\displaystyle \det[J_{F}(x,y)]=e^{2x}{\cdot }\cos ^{2}y+e^{2x}{\cdot }\sin ^{2}y=e^{2x}.}$

Заметим, что ${\displaystyle e^{2x}\neq 0}$ в любой точке. Согласно теореме, для каждой точки ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2}}$ существует окрестность, на которой ${\displaystyle F}$ является обратимой.

• Заметим, однако, что на всей области ${\displaystyle F}$ необратима. Действительно,

  ${\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )}$

для любых ${\displaystyle (x,y)}$. В частности, ${\displaystyle F}$ не является инъективной

В бесконечномерном случае необходимо дополнительно потребовать, чтобы производные Фреше в точке ${\displaystyle p}$ имели ограниченный обратный оператор.

Теорема об обратной функции обобщается на гладкие отображения между гладкими многообразиями. Пусть ${\displaystyle F\colon M\to N}$ — гладкое отображение между гладкими многообразиями. Предположим, что дифференциал

${\displaystyle d_{p}F\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N}$

в точке ${\displaystyle p}$ является линейным изоморфизмом. (В частности, ${\displaystyle \dim M=\dim N}$.) Тогда существует открытая окрестность ${\displaystyle U\ni p}$ такaя, что

${\displaystyle F|_{U}\colon U\to F(U)}$

является диффеоморфизмом.

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — Банаховы пространства, и ${\displaystyle U}$ — открытая окрестность ${\displaystyle 0\in X}$. Предположим, отображение ${\displaystyle F\colon U\to Y}$ непрерывно дифференцируемо, и его дифференциал ${\displaystyle d_{0}F\colon X\to Y}$ является ограниченный линейным изоморфизмом ${\displaystyle X\to Y}$. Тогда существует открытая окрестность ${\displaystyle V\ni F(0)}$ и непрерывно дифференцируемое отображение ${\displaystyle G\colon V\to X}$ такое, что ${\displaystyle F(G(y))=y}$ для всех ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle V}$.

Эти два направления обобщения могут быть объединены в теореме об обратной функции для Банаховых многообразий.^[1]

• Теорема о неявной функции

• Зорич В. А. Математический анализ, любое издание
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
• Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 — § 33
• Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972
• Serge Lang. Differential and Riemannian Manifolds. — Springer, 1995. — ISBN 0-387-94338-2.
• Serge Lang. Fundamentals of Differential Geometry. — New York: Springer, 1999. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-98593-0.
• Nijenhuis, Albert. Strong derivatives and inverse mappings (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1974. — Vol. 81, no. 9. — P. 969—980. — doi:10.2307/2319298.
• Renardy, Michael and Rogers, Robert C. An introduction to partial differential equations (итал.). — Second. — New York: Springer-Verlag, 2004. — P. 337—338. — (Texts in Applied Mathematics 13). — ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis (неопр.). — Third. — New York: McGraw-Hill Education, 1976. — С. 221—223. — (International Series in Pure and Applied Mathematics). — ISBN 978-0070542358.