Теорема о вписанных окружностях

Теорема о вписанных окружностях берёт начало в японских сангаку и относится к следующему построению: серия лучей проводится из некой точки на заданную прямую так, что окружности, вписанные в получающиеся треугольники, образованные смежными лучами и прямой, одинаковы. На иллюстрации одинаковые синие окружности определяют угол между лучами, как описано выше.

Теорема утверждает, что при описанном выше построении окружности, вписанные в треугольники, образованными лучами через один (то есть полученные объединением двух соседних треугольников), через два и т. д., также равны. Случай соседних треугольников показан на рисунке зелёными окружностями: все они имеют одинаковые размеры.

Из факта, что утверждение теоремы не зависит от угла между начальным лучом и заданной прямой, можно сделать вывод, что теорема скорее относится к математическому анализу, а не геометрии, и должна иметь отношение к непрерывной масштабной функции, которая определяет расстояние между лучами. Фактически этой функцией является гиперболический синус.

Теорема является прямым следствием следующей леммы.

Предположим, что n-й луч имеет угол ${\displaystyle \gamma _{n}}$ к нормали для базовой прямой. Если ${\displaystyle \gamma _{n}}$ параметризовано согласно равенству ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n}}$, то значения ${\displaystyle \theta _{n}=a+nb}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ являются вещественными константами, определяют последовательность лучей, которые удовлетворяют условиям вписанных окружностей (см. выше), и более того, любая последовательность лучей, удовлетворяющих этим условиям, может быть получена надлежащим выбором параметров ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

На рисунке прямые PS и PT являются смежными лучами, имеющими углы ${\displaystyle \gamma _{n}}$ и ${\displaystyle \gamma _{n+1}}$ с прямой PR, перпендикулярной базовой прямой RT.

Проведём прямую QY, параллельную базовой прямой, через центр O вписанной в треугольник ${\displaystyle \triangle }$ PST окружности. Эта окружность касается лучей в точках W и Z. Отрезок PQ имеет длину ${\displaystyle h-r}$, а отрезок QR имеет длину ${\displaystyle r}$, что равно радиусу вписанной окружности.

Тогда ${\displaystyle \triangle }$ OWX подобен ${\displaystyle \triangle }$ PQX, ${\displaystyle \triangle }$ OZY подобен ${\displaystyle \triangle }$ PQY, а из XY = XO + OY мы получаем

${\displaystyle (h-r)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\sec \gamma _{n+1}).}$

Это отношение на множестве углов ${\displaystyle \{\gamma _{m}\}}$ выражает условие равенства вписанных окружностей.

Для доказательства леммы положим ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)}$. Это выражение можно преобразовать в ${\displaystyle \sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)}$.

Используя равенство ${\displaystyle a+(n+1)b=(a+nb)+b}$, мы применяем дополнительные правила для ${\displaystyle \mathrm {sh} \,}$ и ${\displaystyle \mathrm {ch} \,}$ и проверяем, что отношение равенства окружностей удовлетворяется выражением

${\displaystyle {\frac {r}{h-r}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.}$

Мы получили выражение для параметра ${\displaystyle b}$ в терминах геометрических величин ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle r}$. Далее, определяя ${\displaystyle b}$, мы получаем выражение для радиусов ${\displaystyle r_{N}}$ вписанных окружностей, образованных выбором каждого N-го луча в качестве сторон треугольника:

${\displaystyle {\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.}$

• Японская теорема о вписанном многоугольнике
• Японская теорема о вписанном четырёхугольнике

• Tabov J. A note on the five-circle theorem // Mathematics Magazine. — 1989. — Т. 63. — № 2. — С. 92—94.