Теорема о равномерной непрерывности

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтораГе́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Формулировка

Пусть даны два метрических пространства и Пусть также дано компактное подмножество и определённая на нём непрерывная функция Тогда равномерно непрерывна на

Замечания

  • В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция
непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.

История

Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне.[1] Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале.[2] В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.

Основной вклад, по-видимому, принадлежит Больцано.[3]

Литература

  1. Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), pp. 353–365
  2. Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), pp. 172–188.
  3. Rusnock, Paul, and Angus Kerr-Lawson. "Bolzano and uniform continuity." Historia mathematica 32.3 (2005): 303-311.