Разбиение квадрата на 6 равновеликих треугольников.
Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники гласит, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади[1].
Теорема знаменита своим неожиданным доказательством, использующим 2-адическую норму.
Используя 2-адические числа, строится определённая раскраска точек единичного квадрата в три цвета.
Главные свойства раскраски состоят в следующем:
Площадь любого треугольника с вершинами разных цветов не может быть выражена дробью с нечётными числителем и знаменателем.
В частности, если бы существовало разбиение квадрата на нечётное число равновеликих треугольников, то ни один из треугольников не имел бы вершин всех трёх цветов.
Любая прямая окрашена ровно в два цвета.
Это и некоторые другие свойства данной раскраски приводят к противоречию с леммой Шпернера.
Вариации и обобщения
-мерный куб может быть разбит на симплексы одинакового объема, только если количество симплексов кратно [3][4].
Из доказательства теоремы также следует существование четырёхугольников, не допускающих разрезания на равновеликие треугольники.
Для целого числа , правильный -угольник допускает разрезание на равновеликих треугольников тогда и только тогда, когда делится на [5].
↑E. A. Kasimatis, Dissections of regular polygons into triangles of equal areas, Discrete & Computational Geometry, August 1989, Volume 4, Issue 4, pp 375—381
↑Стейн, Шерман; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, vol. 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282
Литература
Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин.2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.
Похожие исследовательские статьи
Пифаго́рова тро́йка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению
Теоре́ма Пифаго́ра — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Теорема о четырёх красках утверждает, что всякую расположенную на плоскости или на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами (красками) так, чтобы любые две области с общим участком границы имели разный цвет. При этом области должны быть связными, а граница должна быть неточечной.
Лемма Шпернера — комбинаторный аналог теоремы Брауэра о неподвижной точке, один из основных результатов топологической комбинаторики. Утверждает, что при любой Шпернеровской раскраске вершин в триангуляции n-мерного симплекса найдётся ячейка триангуляции, вершины которой покрашены во все цвета. Первый результат подобного типа был доказан Эмануэлем Шпернером.
Раскраска графа — теоретико-графовая конструкция, частный случай разметки графа. При раскраске элементам графа ставятся в соответствие метки с учётом определённых ограничений; эти метки традиционно называются «цветами». В простейшем случае такой способ окраски вершин графа, при котором любым двум смежным вершинам соответствуют разные цвета, называется раскраской вершин. Аналогично раскраска рёбер присваивает цвет каждому ребру так, чтобы любые два смежных ребра имели разные цвета. Наконец, раскраска областей планарного графа назначает цвет каждой области, так, что каждые две области, имеющие общую границу, не могут иметь одинаковый цвет.
Теоре́ма де Гуа — одно из обобщений теоремы Пифагора на старшие размерности.
Рёберная раскраска — назначение «цветов» рёбрам графа таким образом, что никакие два смежных ребра не имеют один и тот же цвет. Рёберная раскраска — это один из видов различных типов раскраски графов. Задача рёберной раскраски задаётся вопросом, можно ли раскрасить рёбра заданного графа максимум в различных цветов для заданного значения или для минимального возможного числа цветов. Минимальное требуемое число цветов для раскраски рёбер заданного графа называется хроматическим индексом графа. Например, рёбра графа на иллюстрации можно раскрасить в три цвета, но нельзя раскрасить в два, так что граф имеет хроматический индекс 3.
Обхват графа — длина наименьшего цикла, содержащегося в данном графе. Если граф не содержит циклов, его обхват по определению равен бесконечности. Например, 4-цикл (квадрат) имеет обхват 4. Квадратная решётка имеет также обхват 4, а треугольная сетка имеет обхват 3. Граф с обхватом четыре и более не имеет треугольников.
Теорема Визинга — утверждение теории графов, согласно которому рёбра любого простого неориентированного графа могут быть раскрашены в число цветов, максимум на единицу большее максимальной степени вершин графа. Поскольку цветов достаточно всегда, все неориентированные графы можно разбить на два класса — графы «первого класса», для которых цветов достаточно, и «второго класса», для которых необходимо цветов.
Целочисленный треугольник — это треугольник, длины всех сторон которого выражаются целыми числами. Рациональный треугольник можно определить как треугольник, стороны которого являются рациональными числами. Любой рациональный треугольник можно привести к целочисленному, так что нет существенной разницы между целочисленными и рациональными треугольниками. Заметим, однако, что существуют и другие определения «рационального треугольника». Так, в 1914 Кармайкл использовал этот термин для обозначения того, что мы теперь называем героновым треугольником. Сомос (Somos) использует термин для треугольников, отношения сторон которого являются рациональными числами. Конвей и Гай определяют рациональный треугольник как треугольник с рациональными сторонами и углами — в этом случае рациональными будут только равносторонние треугольники с рациональными сторонами.
Делящаяся плитка — понятие геометрии мозаик, фигура, которую можно разрезать на меньшие копии самой фигуры. В 2012 обобщение делящихся мозаик с названием self-tiling tile set было предложено английским математиком Ли Сэлоусом в журнале Mathematics Magazine.
Шарнирная равносоставленность , — вид равносоставленности, в которой части разбиения соединены в цепочку «шарнирами» так, что перекомпоновку от одной фигуры в другую можно осуществить путём непрерывного вращения цепочки без их разъединения. Обычно предполагается, что части могут накладываться во время движения, что иногда называется «шаткой» моделью шарнирной равносоставленности.
Пауль Монски — американский математик и профессор в университете Брандейса. Наиболее известен доказательством теоремы о разрезании квадрата на равновеликие треугольники.
Пифагорова мозаика — замощение евклидовой плоскости квадратами двух различных размеров, в которой каждый квадрат касается четырёх квадратов другого размера своими четырьмя сторонами. Исходя из этой мозаики, можно доказать (наглядно) теорему Пифагора, за что мозаика и получила название пифагоровой. Мозаика часто используется в качестве узора для кафельного пола. В этом контексте мозаика известна также как узор классов.
Задача о картинной галерее или музейная задача — это хорошо изученная задача видимости (просматриваемости) в вычислительной геометрии. Задача возникает в реальном мире как задача охраны художественной галереи минимальным числом охранников, которые в состоянии видеть всю галерею. В версии задачи для вычислительной геометрии галерея представляется как простой многоугольник, а каждый охранник представляется точкой внутри многоугольника. Говорят, что множество точек охраняет многоугольник, если для любой точки внутри многоугольника существует такая точка , что отрезок, соединяющий и , лежит полностью внутри многоугольника.
Теорема о дележе пиццы утверждает равенство площадей двух областей, получающихся при разрезании круга определённым образом.
Задача о разрезании ожерелья — это название серии задач из комбинаторики и теории меры. Задачу сформулировали и решили математики Нога Алон и Дуглас Б. Вест.
Топологический граф — представление графа на плоскости, в котором вершины графа представлены различными точками, а рёбра кривыми Жордана, соединяющими соответствующие пары точек. Точки, представляющие вершины графа, и дуги, представляющие рёбра, называются вершинами и рёбрами топологического графа. Обычно предполагается, что любые два ребра топологического графа пересекаются конечное число раз, при этом ни одно ребро не проходит через вершину и никакие два ребра не касаются друг друга. Топологический граф называется также «рисунком» графа.
Обобщённая тригонометрия — совокупность различных обобщений определений и результатов классической тригонометрии.
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.
