Теорема о свёртке

Теорема о свёртке гласит, что при подходящих условиях преобразование Фурье свёртки двух функций (или сигналов) является поточечным произведением их преобразований Фурье. В более общем случае свёртка в одной области (например, во временной) равна точечному умножению в другой области (например, в частотной). Другие версии теоремы о свёртке применимы к различным преобразованиям Фурье.

Функции непрерывной переменной

Рассмотрим две функции $u(x)$ и $v(x)$ с соответствующими преобразованиями Фурье $U$ и $V$ :

{\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ,\end{aligned}}

где ${\mathcal {F}}$ обозначает оператор преобразования Фурье. Преобразование может быть нормализовано и другим способом, при котором постоянные коэффициенты масштаба (обычно $2\pi$ или ${\sqrt {2\pi }}$ ) будут фигурировать в теореме о свёртке ниже. Свёртка $u(x)$ и $v(x)$ определяется как:

r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .

В данном контексте звёздочка обозначает свёртку, а не обычное умножение. Вместо этого иногда используется символ тензорного произведения $\otimes$ .

Теорема о свёртке утверждает, что^[1]^[2]^:ур.8:

$R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)=U(f)V(f).\quad f\in \mathbb {R}$

(Ур. 1a)

Применение обратного преобразования Фурье ${\mathcal {F}}^{-1},$ даёт следствие^[2]^:ур.7,10:

Теорема о свёртке

$r(x)=\{u*v\}(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{U\cdot V\},\quad$ где $\displaystyle \cdot$ обозначает поточечное произведение

(Ур. 1b)

Теорема также в общем случае применима к функциям нескольких переменных.

Вывод ур. 1 для функций нескольких переменных

Рассмотрим функции $u,v$ в L^p-пространстве $L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),$ и преобразования Фурье $U,V$ :

{\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ^{n}\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}v(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\end{aligned}}

где $f\cdot x$ обозначает скалярное произведение в $\mathbb {R} ^{n}$ : $f\cdot x=\sum _{j=1}^{n}{f}_{j}x_{j}$ и $dx=\prod _{j=1}^{n}dx_{j}.$

Свёртка $u$ и $v$ определяется как:

r(x)\triangleq \int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau .

Также:

\iint |u(\tau )v(x-\tau )|\,dx\,d\tau =\int \left(|u(\tau )|\int |v(x-\tau )|\,dx\right)\,d\tau =\int |u(\tau )|\,\|v\|_{1}\,d\tau =\|u\|_{1}\|v\|_{1}.

Отсюда по теореме Фубини следует, что $r\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ . Поэтому его преобразование Фурье $R$ определяется интегральной формулой:

{\begin{aligned}R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}r(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau \right)\,e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx.\end{aligned}}

Отметим, что, отсюда по приведённому выше аргументу можно снова применить теорему Фубини (то есть поменять порядок интегрирования):

{\begin{aligned}R(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}v(x-\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\right)} _{V(f)\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }\,d\tau \right)} _{U(f)}\ V(f).\end{aligned}}

Эта теорема также справедлива для преобразования Лапласа, двустороннего преобразования Лапласа и, при соответствующей модификации, для преобразования Меллина и преобразования Хартли (см. теорему об инверсии Меллина^[англ.]). Она может быть распространена на преобразование Фурье абстрактного гармонического анализа, определённого над локально компактными абелевыми группами.

Периодическая свёртка (коэффициенты ряда Фурье)

Рассмотрим $P$ -периодическую функцию $u_{_{P}}$ и $v_{_{P}}$ , которые могут быть выражены как периодические суммы:

u_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u(x-mP)

и

v_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v(x-mP).

На практике ненулевая часть компонентов $u$ и $v$ часто ограничивается продолжительностью $P$ , но ничто в теореме этого не требует.

Коэффициенты ряда Фурье:

{\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{интегрирование по любому интервалу длины }}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}

где ${\mathcal {F}}$ обозначает интеграл ряда Фурье.

Поточечное произведение $u_{_{P}}(x)\cdot v_{_{P}}(x)$ также $P$ -периодично, и его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной свёрткой $U$ и $V$ :
Свёртка:

{\begin{aligned}\{u_{_{P}}*v\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{интегрирование по любому интервалу длины }}P\end{aligned}}

также Р-периодична и называется периодической свёрткой.

Вывод периодической свёртки

{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1)P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \right]\quad x_{0}{\text{ — произвольный параметр}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}\underbrace {u_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{u_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ по периодичности}}}\cdot v(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{замена }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }v(\tau +kP)\right]} _{\triangleq \ v_{_{P}}(\tau )}\ d\tau \end{aligned}}

Соответствующая теорема свёртки имеет вид:

${\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]=\ P\cdot U[k]\ V[k].$

(Ур. 2)

Вывод ур. 2

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]&\triangleq {\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\cdot v_{_{P}}(x-\tau )\ d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}\underbrace {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{V[k],{\text{ по периодичности}}}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{P}\ u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P\cdot U[k]}\ V[k].\end{aligned}}

Функции дискретной переменной (последовательности)

Аналогично ур. 1 выводится теорема для случая последовательностей, например, выборок двух непрерывных функций, где теперь F обозначает оператор дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ)^[англ.]. Рассмотрим две последовательности $u[n]$ и $v[n]$ с преобразованиями $U$ и $V$ :

{\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}

Дискретная свёртка $u$ и $v$ определяется:

r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].

Теорема о свёртке для дискретных последовательностей имеет вид^[3]^[4]^{:с.60 (2.169)}:

$R(f)={\mathcal {F}}\{u*v\}(f)=\ U(f)V(f).$

(Ур. 3)

Периодическая свёртка

$U(f)$ и $V(f)$ , как определено выше, являются периодическими с периодом 1. Рассмотрим $N$ -периодические последовательности $u_{_{N}}$ и $v_{_{N}}$ :

u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]

и

v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .

Эти функции возникают в результате выборки $U$ и $V$ с интервалом в $1/N$ и обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на N выборках. Дискретная свёртка имеет вид:

\{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m],

она также является $N$ -периодической и называется периодической свёрткой. Переопределим оператор ${\mathcal {F}}$ как N-значное ДПФ, тогда соответствующая теорема имеет вид^[5]^[4]^{:с. 548}:

${\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}[k]} _{U(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}[k]} _{V(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .$

(Ур. 4a)

И следовательно:

$\{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}\}.$

(Ур. 4b)

При соответствующих условиях возможно, что $N$ -значная последовательность содержит не содержащий искажений сегмент свёртки $u*v$ . Но когда ненулевая часть $u(n)$ или $v(n)$ последовательности равна или длиннее, чем $N$ , неизбежны некоторые искажения. Так происходит, когда последовательность 𝑉(𝑘/𝑁) получается путём прямой дискретизации DTFT бесконечно длинного импульсного отклика § Дискретного преобразования Гильберта^[A].

Для последовательностей $u$ и $v$ , ненулевая длина которых меньше или равна $N$ , окончательное упрощение имеет вид:

Периодическая свёртка

$\{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\}.$

(Ур. 4c)

Эта форма часто используется для эффективной реализации численной свёртки на компьютере. В качестве частичной взаимности было показано^[6], что любое линейное преобразование, превращающее свёртку в точечное произведение, является ДПФ (вплоть до перестановки коэффициентов).

Вывод ур. 4

Вывод во временной области осуществляется следующим образом:

{\begin{aligned}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[k]&\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m]\right)e^{-i2\pi kn/N}\\&=\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\left(\sum _{n=0}^{N-1}v_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi kn/N}\right)\\&=\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\underbrace {\left(\sum _{n=0}^{N-1}v_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi k(n-m)/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\quad \scriptstyle {\text{due to periodicity}}}\\&=\underbrace {\left(\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]}\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right).\end{aligned}}

ДВПФ можно записать в виде:

{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right).\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5a)}}

{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right).

Произведение $V(f)$ тем самым сводится к дискретно-частотной функции:

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}(f)&=G_{_{N}}(f)V(f)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot V(f)\cdot \delta \left(f-k/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot V(k/N)\cdot \delta \left(f-k/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right),\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5b)}}\end{aligned}}

где эквивалентность $V(k/N)$ и $\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right)$ следует по свойству выборки ДВПФ. Таким образом, эквивалентность (5a) и (5b) требует:

\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle {\{u_{_{N}}*v\}[k]}=\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right).

Мы также можем проверить обратное ДВПФ из (5b):

{\begin{aligned}(u_{_{N}}*v)[n]&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\cdot \delta \left(f-k/N\right)\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\cdot \underbrace {\left(\int _{0}^{1}\delta \left(f-k/N\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\right)} _{{\text{0, for}}\ k\ \notin \ [0,\ N)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]{\bigg )}\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}\\&=\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle {\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}{\bigg )}.\end{aligned}}

Теорема свёртки для обратного преобразования Фурье

Существует также теорема свёртки для обратного преобразования Фурье. Здесь « $\cdot$ » представляет собой произведение Адамара, а « $*$ » представляет свёртку двух матриц.

{\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}

так что

{\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}

Теорема свёртки для обобщённых функций умеренного роста

Теорема о свёртке распространяется на обобщённые функции умеренного роста. Здесь v — произвольная обобщённая функция умеренного роста:

{\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{\alpha \cdot v\}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}

Но $u=F\{\alpha \}$ должно «быстро убывать» по направлению к $-\infty$ и $+\infty$ , чтобы гарантировать существование как свёртки, так и её произведения. Эквивалентно, если $\alpha =F^{-1}\{u\}$ — гладкая «медленно растущая» обыкновенная функция, то она гарантирует существование как умножения, так и произведения свёрток^[7]^[8]^[9].

В частности, каждое компактно поддерживаемая обобщённая функция умеренного роста, например, дельта-функция, является «быстро убывающей». Эквивалентно, полосовые функции, такие как функция, которая постоянно равна $1$ , являются гладкими «медленно растущими» обычными функциями. Если, например, $v\equiv \operatorname {\text{Ш}}$ является гребнем Дирака, то оба уравнения дают формулу суммирования Пуассона^[англ.], и если, кроме того, $\alpha \equiv 1$ является дельта-функцией, то $\alpha \equiv 1$ постоянно равно единице, и эти уравнения дают тождество гребня Дирака.

Замечания

↑ Примером является функция MATLAB hilbert(u,N).

Примечания

↑ McGillem, Clare D. Continuous and Discrete Signal and System Analysis / Clare D. McGillem, George R. Cooper. — 2. — Holt, Rinehart and Winston, 1984. — P. 118 (3–102). — ISBN 0-03-061703-0.
↑ ¹ ² Weisstein, Eric W. Convolution Theorem (англ.). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 13 апреля 2024. Архивировано 11 июля 2000 года.
↑ Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (англ.) (3 ed.), New Jersey: Prentice-Hall International, p. 297, Bibcode:1996dspp.book.....P, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ
↑ ¹ ² Oppenheim, Alan V. Discrete-time signal processing / Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck. — 2nd. — Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 1999. — ISBN 0-13-754920-2.
↑ Rabiner, Lawrence R. Theory and application of digital signal processing / Lawrence R. Rabiner, Bernard Gold. — Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, Inc., 1975. — P. 59 (2.163). — ISBN 978-0139141010.
↑ Amiot, Emmanuel. Music through Fourier Space. — Zürich : Springer, 2016. — P. 8. — ISBN 978-3-319-45581-5. — doi:10.1007/978-3-319-45581-5. Архивная копия от 3 июня 2023 на Wayback Machine
↑ Horváth, John. Topological Vector Spaces and Distributions. — Reading, MA : Addison-Wesley Publishing Company, 1966.
↑ Barros-Neto, José. An Introduction to the Theory of Distributions. — New York, NY : Dekker, 1973.
↑ Petersen, Bent E. Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators. — Boston, MA : Pitman Publishing, 1983.

Литература

Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4
Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), "Convolution Theorem and Asymptotic Efficiency", A Graduate Course on Statistical Inference, New York: Springer, pp. 295—327, ISBN 978-1-4939-9759-6
Crutchfield, Steve (October 9, 2010), "The Joy of Convolution", Johns Hopkins University, Дата обращения: 19 ноября 2010

[6] Примером является функция MATLAB hilbert(u,N).

[McGillem-1] McGillem, Clare D. Continuous and Discrete Signal and System Analysis / Clare D. McGillem, George R. Cooper. — 2. — Holt, Rinehart and Winston, 1984. — P. 118 (3–102). — ISBN 0-03-061703-0.

[Weisstein-2] ¹ ² Weisstein, Eric W. Convolution Theorem (англ.). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 13 апреля 2024. Архивировано 11 июля 2000 года.

[Proakis-3] Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (англ.) (3 ed.), New Jersey: Prentice-Hall International, p. 297, Bibcode:1996dspp.book.....P, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

[Oppenheim-4] ¹ ² Oppenheim, Alan V. Discrete-time signal processing / Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck. — 2nd. — Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 1999. — ISBN 0-13-754920-2.

[Rabiner-5] Rabiner, Lawrence R. Theory and application of digital signal processing / Lawrence R. Rabiner, Bernard Gold. — Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, Inc., 1975. — P. 59 (2.163). — ISBN 978-0139141010.

[7] Amiot, Emmanuel. Music through Fourier Space. — Zürich : Springer, 2016. — P. 8. — ISBN 978-3-319-45581-5. — doi:10.1007/978-3-319-45581-5. Архивная копия от 3 июня 2023 на Wayback Machine

[8] Horváth, John. Topological Vector Spaces and Distributions. — Reading, MA : Addison-Wesley Publishing Company, 1966.

[9] Barros-Neto, José. An Introduction to the Theory of Distributions. — New York, NY : Dekker, 1973.

[10] Petersen, Bent E. Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators. — Boston, MA : Pitman Publishing, 1983.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[A]

[6]

[7]

[8]

[9]