Теорема о симплектическом верблюде

Теорема о симплектическом верблюде — одна из основных теорем в симплектической геометрии^[1]. Теорема гласит, что шар возможно вложить в цилиндр сохраняя естественную симплектическую форму, только если радиус шара не превосходит радиуса цилиндра.

История

Доказана в 1985 году Михаилом Громовым^[2]. Ян Стюарт назвал эту теорему теоремой о симплектическом верблюде, ссылаясь на библейскую притчу «удобнее верблюду пройти сквозь игольные уши, нежели богатому войти в Царствие Божие»^[3].

До появления этой теоремы было очень мало известно о геометрии симплектических преобразований. Одно простое свойство симплектоморфизма заключается в том, что он сохраняет объем^[4]. Легко видеть, что шар любого радиуса допускает вложение в цилиндр любого радиуса с сохранением объёма. Таким образом, теорема о верблюде говорит, что класс симплектических преобразований существенно меньше класса диффеоморфизмов, сохраняющих объём.

Формулировка

В пространстве

\mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\}

с симплектической формой

\omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\ldots +dx_{n}\wedge dy_{n}

рассмотрим шар радиуса R

B(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}\mid \|z\|<R\}

и цилиндр радиуса r

Z(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}\mid x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<r^{2}\}.

Теорема о симплектическом верблюде говорит, что если мы можем найти симплектическое вложение

\phi \colon B(R)\to Z(r),

то $R\leqslant r$ .

Ссылки

↑ Tao, Terence (2006), Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 106, American Mathematical Society, p. 219, MR 2233925, This theorem is especially surprising in light of Darboux' theorem ... It is a result of fundamental importance in symplectic geometry
↑ Gromov, M. L. Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds (англ.) // Inventiones Mathematicae : journal. — 1985. — Vol. 82. — P. 307—347. — doi:10.1007/BF01388806. — Bibcode: 1985InMat..82..307G.
↑ Stewart, I.: The symplectic camel, Nature 329(6134), 17–18 (1987), doi:10.1038/329017a0.
↑ D. McDuff and D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Cambridge University Press (1996), ISBN 978-0-19-850451-1.

Дополнительная литература

Maurice A. de Gosson: The symplectic egg, arXiv:1208.5969v1, submitted on 29 August 2012 — includes a proof of a variant of the theorem for case of linear canonical transformations
Dusa McDuff: What is symplectic geometry? Архивная копия от 10 января 2014 на Wayback Machine, 2009

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Теорема Пифагора</span> одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Теоре́ма Пифаго́ра — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

<span class="mw-page-title-main">Барицентр</span> среднее арифметическое положений всех точек фигуры

В математике барице́нтр, или геометри́ческий центр, двумерной фигуры — это среднее арифметическое положений всех точек данной фигуры. Определение распространяется на любой объект в n-мерном пространстве. Радиус-вектор барицентра в трёхмерном случае вычисляется как

\text{[math]}

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

Пространство Кала́би — Яу — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль. В теории суперструн иногда предполагают, что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби — Яу, что привело к идее зеркальной симметрии. Название было придумано в 1985 году, в честь Эудженио Калаби, который впервые предположил, что такие размерности могут существовать, и Яу Шинтуна, который в 1978 году доказал гипотезу Калаби.

Китайская теорема об остатках — несколько связанных утверждений о решении линейной системы сравнений.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Дифференциа́льная фо́рма порядка $\text{[math]}$ , или $\text{[math]}$ -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $\text{[math]}$ на многообразии.

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания распределения случайной величины. Во многих практических приложениях понятия «плотность вероятности» и «плотность (распределения) случайной величины» или «функция распределения вероятностей» фактически синонимизируются и под ними подразумевается вещественная функция, характеризующая сравнительную вероятность реализации тех или иных значений случайной переменной (переменных).

Важное свойство проективной плоскости — «симметрия» ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к концепции двойственности: один, использующий язык «принципа двойственности», позволяет объявить ряд теорем двойственными друг к другу, при этом двойственная к верной теореме тоже верна; и другой, функциональный подход, основанный на специальном отображении двойственности. Связь между подходами состоит в том, что двойственная теорема получается применением отображения двойственности к каждому объекту исходной. Возможен и координатный подход.

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга вокруг его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Кратный интеграл — определённый интеграл, взятый от $\text{[math]}$ переменных; например:

\text{[math]}

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.

Пфа́ффово уравнение — уравнение вида $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — дифференциальная 1-форма на касательном расслоении многообразия $\text{[math]}$ размерности $\text{[math]}$ . Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

В математике суперинтегрируемая гамильтонова система — это гамильтонова система на $\text{[math]}$ -мерном симплектическом многообразии $\text{[math]}$ , для которой выполняются следующие условия:

Теорема Дарбу — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии $\text{[math]}$ , у любой точки в $\text{[math]}$ существует открытая окрестность и локальные координаты $\text{[math]}$ в ней, в которых симплектическая форма $\text{[math]}$ принимает канонический вид $\text{[math]}$ .

Теорема Декарта утверждает, что для любых четырёх взаимно касающихся окружностей радиусы окружностей удовлетворяют некоторому квадратному уравнению. Решив это уравнение, можно построить четвёртую окружность, касающуюся остальных трёх заданных окружностей. Теорема названа в честь Рене Декарта, который сформулировал её в 1643 году.

Симплектическая матрица — это матрица M размера 2n×2n с вещественными элементами, которая удовлетворяет условию

Классы Чженя — это характеристические классы, ассоциированные с комплексными векторными расслоениями.

Пространство Лобачевского, или гиперболическое пространство размерности $\text{[math]}$ — единственное полное односвязное $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны, равной $\text{[math]}$ . Обычно обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Двумерное пространство Лобачевского $\text{[math]}$ называется плоскостью Лобачевского.

Теорема Колмогорова — Арнольда — теорема из анализа действительного переменного и теории приближений, гласит, что каждая многомерная непрерывная функция может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной. Она решает в более общем виде тринадцатую проблему Гильберта.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.