Теорема о точках плотности

Теорема о точках плотности — результат теории меры, которой интуитивно можно понимать так, что множество «граничных точек» измеримого множества имеет меру ноль.

Обозначим через ${\displaystyle \lambda }$ меру Лебега на евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Пусть ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — измеримое множество. Для произвольной точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \varepsilon >0}$ рассмотрим значение

${\displaystyle d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))}}}$,

где ${\displaystyle B_{\varepsilon }(x)}$ обозначает шар с центром в ${\displaystyle x}$ и радиусом ${\displaystyle \varepsilon }$. Величина ${\displaystyle d_{\varepsilon }(x)}$ может интерпретироваться как приблизительная плотность множества ${\displaystyle A}$ в точке ${\displaystyle x}$.

Тогда, для почти каждой точки ${\displaystyle x\in A}$,

${\displaystyle d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)}$

существует и равен 0 или 1.

• Величина ${\displaystyle d(x)}$, если определена, называется плотностью множества ${\displaystyle A}$ в точке ${\displaystyle x}$.
• Другими словами, теорема утверждает, что плотность любого измеримого множества ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ принимает значение 0 или 1 почти всюду в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Если множество и его дополнение имеют положительную меру, то всегда найдутся точки с плотностью не 0 и не 1.

Например, дан квадрат в плоскости, плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, и 0 вне квадрата; границы и вершины имеют меру ноль.

• Теорема о точках плотности является частным случаем теоремы о дифференциации Лебега^[англ.].

• Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М., 1974.