Теорема сравнения Берже — Каждана

Теорема сравнения Берже — Каждана — результат в римановой геометрии. Теорема дает точную нижнюю оценку на объём риманова многообразия, в терминах радиуса инъективности, при этом в случае равенства многообразие изометрично стандартной сфере.

Теорема названа в честь Марселя Берже и Джерри Каждана.

Формулировка

Пусть (M,g) — компактное m-мерное риманово многообразие с радиусом инъективности хотя бы $\pi$ . Тогда объём (M,g) не меньше объёма единичной m-мерной сферы $\mathbb {S} ^{m}$ . Более того, в случае равенства, (M,g) изометрично $\mathbb {S} ^{m}$ .

Литература

Berger, Marcel; Kazdan, Jerry L.^[англ.]. A Sturm–Liouville inequality with applications to an isoperimetric inequality for volume in terms of injectivity radius, and to Wiedersehen manifolds // Proceedings of Second International Conference on General Inequalities, 1978 (англ.). — Birkhauser^[англ.], 1980. — P. 367—377.
Kodani, Shigeru. An Estimate on the Volume of Metric Balls (неопр.) // Kodai Mathematical Journal. — 1988. — Т. 11, № 2. — С. 300—305. — doi:10.2996/kmj/1138038881.

Похожие исследовательские статьи

Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент решённой задачей тысячелетия.

Пространство Кала́би — Яу — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль. В теории суперструн иногда предполагают, что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби — Яу, что привело к идее зеркальной симметрии. Название было придумано в 1985 году, в честь Эудженио Калаби, который впервые предположил, что такие размерности могут существовать, и Яу Шинтуна, который в 1978 году доказал гипотезу Калаби.

Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии. Названы в честь Марселя Берже.

Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие $\text{[math]}$ класса $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , допускает изометрическое $\text{[math]}$ вложение в $\text{[math]}$ для достаточно большого $\text{[math]}$ .

Нильмногообразие — это гладкое многообразие, имеющее транзитивную нильпотентную группу диффеоморфизмов, действующих на этом многообразии. Нильмногообразие является примером однородного пространства и диффеоморфно факторпространству $\text{[math]}$ , факторгруппе нильпотентной группы Ли N по замкнутой подгруппе H. Термин ввёл Анатолий И. Мальцев в 1951 году.

Тензор Риччи, названный в честь итальянского математика Грегорио Риччи-Курбастро, задаёт один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор, является симметричной билинейной формой на касательном пространстве риманова многообразия. Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма, то есть степень отличия n-мерных областей n-мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства (см. геометрический смысл тензора Риччи). Обычно обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ .

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны $\text{[math]}$ .

Симплициальный объём — топологический инвариант, определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Изопериметри́ческое нера́венство — геометрическое неравенство, связывающее периметр замкнутой кривой на плоскости и площадь участка плоскости, ограниченной этой кривой. Этот термин также используется для различных обобщений данного неравенства.

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности.

Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.

Теорема о сфере — общее название теорем, дающих достаточные условия на риманову метрику, гарантирующие гомеоморфность или диффеоморфность многообразия стандартной сфере.

Пространство Лобачевского, или гиперболическое пространство размерности $\text{[math]}$ — единственное полное односвязное $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны, равной $\text{[math]}$ . Обычно обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Двумерное пространство Лобачевского $\text{[math]}$ называется плоскостью Лобачевского.

Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы $\text{[math]}$ кроме $\text{[math]}$ тривиальны. Для симплектических многообразий значение термина немного отличается; смотри симплектически асферическое многообразие.

<span class="mw-page-title-main">Систолическое неравенство</span>

Систолическое неравенство — неравенство следующего вида

\text{[math]}

Голоно́ми́я — один из инвариантов связности в расслоении над гладким многообразием, сочетающий свойства кривизны и монодромии, и имеющий важное значение как в геометрии, так и геометризированных областях естествознания, таких как теория относительности и теория струн. Обыкновенно речь идёт о голономии связностей в векторном расслоении, хотя в равной степени имеет смысл говорить о голономии связности в главном расслоении или даже голономии связности Эресманна в локально тривиальном топологическом расслоении.

Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.