Теорема сравнения Рауха

Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии. Доказана Раухом^[1].

Теорема утверждает, что в пространствах с большей секционной кривизной геодезические имеют тенденцию сходиться быстрее. Точная формулировка использует поля Якоби.

Формулировка

Пусть $M$ и ${\tilde {M}}$ суть римановы многообразия. Пусть $\gamma \colon [0,T]\to M$ и ${\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}$ суть геодезические с единичной скоростью, такие, что ${\widetilde {\gamma }}(0)$ не имеет сопряженных точек вдоль ${\tilde {\gamma }}$ , и пусть $J,{\tilde {J}}$ — нормальные поля Якоби вдоль $\gamma$ и ${\tilde {\gamma }}$ , такие, что $J(0)={\tilde {J}}(0)=0$ и $|J'(0)|=|{\tilde {J}}'(0)|$ . Предположим, что секционные кривизны $M$ и ${\tilde {M}}$ всюду удовлетворяют $K(\Pi )\leqslant {\widetilde {K}}({\widetilde {\Pi }})$ , где $\Pi \subset T_{\gamma (t)}M$ — это 2-плоскость, содержащая ${\dot {\gamma }}(t)$ , а ${\tilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}$ — 2-плоскость, содержащая ${\dot {\tilde {\gamma }}}(t)$ . Тогда $|J(t)|\geqslant |{\tilde {J}}(t)|$ для всех $t\in [0,T]$ .

Следствия

Пусть $M$ — риманово многообразие, и геодезическая $\gamma \colon [0,T]\to M$ не имеет сопряжённых точек, тогда:

Если $M$ имеет неотрицательную секционную кривизну, то для любого поля Якоби $J$ такого, что $J(0)=0$ , имеем
$|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.$
Если секционная кривизна $M$ не меньше 1, то
$|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.$
Если секционная кривизна $M$ не больше −1, то
$|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operatorname {sh} t|.$

См. также

Примечания

↑ Rauch, H. E. A contribution to differential geometry in the large // Ann. Math.. — 1951. — Vol. 54. — P. 38–55. — doi:10.2307/1969309.. MR: 42765

Ссылки

Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Накрытие</span>

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение $\text{[math]}$ линейно связного пространства $\text{[math]}$ на линейно связное пространство $\text{[math]}$ , такое, что у любой точки $\text{[math]}$ найдётся окрестность $\text{[math]}$ , полный прообраз которой $\text{[math]}$ представляет собой объединение попарно непересекающихся областей $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик, описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» от соответствующих «плоских» объектов.

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Теория Калуцы — Клейна — одна из многомерных теорий гравитации, позволяющая объединить два фундаментальных физических взаимодействия: гравитацию и электромагнетизм. Теория была впервые опубликована в 1921 году немецким математиком Теодором Калуцей, который расширил пространство Минковского до 5-мерного пространства и получил из уравнений своей теории уравнения общей теории относительности и классические уравнения Максвелла. Обоснование ненаблюдаемости пятого измерения было предложено шведским физиком Оскаром Клейном в 1926 году.

Вселе́нная Фри́дмана — одна из космологических моделей, удовлетворяющих полевым уравнениям общей теории относительности (ОТО), первая из нестационарных моделей Вселенной. Получена Александром Фридманом в 1922. Модель Фридмана описывает однородную изотропную в общем случае нестационарную Вселенную с веществом, обладающую положительной, нулевой или отрицательной постоянной кривизной. Эта работа учёного стала первым основным теоретическим развитием ОТО после работ Эйнштейна 1915—1917 гг.

Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной.

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

Поле Якоби — векторное поле вдоль геодезической $\text{[math]}$ в римановом многообразии, описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической. Можно сказать, что все поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к ней в пространстве всех геодезических.

Формула Крофтона — классический результат интегральной геометрии. Связывает длину кривой со средним числом пересечений с прямыми.

Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности.

Теорема о расщеплении — классическая теорема в римановой геометрии.

Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.

Теорема Решетняка о мажоризации — удобная характеризация CAT(k) пространств.

Бидуга́ — гладкая плоская кривая, составленная из двух круговых дуг, меньших полной окружности. Одной из дуг может быть отрезок прямой. Бидуги были предложены для геометрического моделирования кривых с заданными граничными точками и касательными в них. В классе бидуг эта задача имеет целое семейство решений, и требует дополнительных условий для нахождения конкретных кривых. Таковыми могут быть задание кривизны или поворота одной из дуг, фиксированная длина кривой, требование минимизации скачка кривизны в точке сопряжения, и т. п.

Теорема Фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше $\text{[math]}$ и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой. В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины $\text{[math]}$ не может быть меньше $\text{[math]}$ .

Вариация поворота кривой — интеграл кривизны кривой по её длине.

Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.

Характеристические классы — это далеко идущее обобщение таких количественных понятий элементарной геометрии, как степень плоской алгебраической кривой или сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности. Более подробно они описаны в соответствующей статье. Теория Черна — Вейля позволяет представлять некоторые характеристические классы как выражения от кривизны.

Теорема Богомолова о разложении описывает структуру кэлеровых многообразий с тривиальным каноническим расслоением. Справку о многообразиях такого типа можно найти в статье «Многообразие Калаби — Яу».

Голоно́ми́я — один из инвариантов связности в расслоении над гладким многообразием, сочетающий свойства кривизны и монодромии, и имеющий важное значение как в геометрии, так и геометризированных областях естествознания, таких как теория относительности и теория струн. Обыкновенно речь идёт о голономии связностей в векторном расслоении, хотя в равной степени имеет смысл говорить о голономии связности в главном расслоении или даже голономии связности Эресманна в локально тривиальном топологическом расслоении.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.