Теоремы Кельвина

Под теоре́мой Ке́львина в гидродинамике обычно подразумевают основную теорему Кельвина, однако также известны ещё две другие теоремы Томсона (Кельвина).

В 1849 году Уильям Томсон доказал теорему о минимальной кинетической энергии жидкости:

Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорость в безвихревом движении потенциальна (v = gradφ) и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю, как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, пусть ΔЧто-то = Что-то_вихр. − Что-то_{безвихр.}. Тогда для разности кинетических энергий можно записать:

${\displaystyle \Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }[(\mathbf {V} +\mathbf {\Delta \!V} )^{2}-V^{2}]d\tau =\rho \iiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau +{\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau ,}$

где ρ — плотность жидкости, а τ — жидкий объём. Рассмотрим далее только первый интеграл справа:

${\displaystyle \iiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\Delta \!V} d\tau ,}$

а, так как div(φa) = φ diva + gradφ·a, интеграл можно преобразовать так:

${\displaystyle \iiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {div} (\varphi \mathbf {\Delta \!V} )d\tau -\iiint \limits _{\tau }\varphi \operatorname {div} (\mathbf {\Delta \!V} )d\tau =\iint \limits _{\sigma }\varphi (\mathbf {\Delta \!V} )_{n}d\sigma -\iiint \limits _{\tau }\varphi \Delta \!(\operatorname {div} \mathbf {V} )d\tau ,}$

где σ — поверхность, ограничивающая объём τ, а индекс n обозначает нормальную составляющую вектора. Из условия теоремы следует, что на поверхности σ вихревое и безвихревое движения совпадают, т. е. ΔV = 0, кроме того по условию несжимаемости div V = 0. Таким образом, в последнем равенстве все слагаемые равны нулю и для разности кинетических энергий получается:

${\displaystyle \Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau >0,}$

из чего и следует теорема Кельвина.

Кинематическая теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени. Формулировка теоремы такова:

Вычислим частную производную по времени от циркуляции скорости по произвольному контуру C, не делая для начала предположения о его замкнутости.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{C}\mathbf {V\delta r} =\int \limits _{C}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {V\cdot \delta r} )=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V\cdot {\frac {d}{dt}}(\delta r)} =\\=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \delta \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\delta \left({\frac {V^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$

Очевидно, при замыкании контура последний интеграл обратится в нуль. Таким образом:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V}} \cdot \mathbf {\delta r} =\Gamma _{C}(\mathbf {\dot {V}} ).}$

Теорему Кельвина о баротропной жидкости также называют основной теоремой Кельвина, которая обосновывает возможность существования безвихревого движения:

Теорема легко доказывается на основе предыдущей теоремы подстановкой в правую часть выражения для ускорения в случае потенциальных сил: ${\displaystyle \mathbf {\dot {V}} =-\operatorname {grad} \Pi }$:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V}} \cdot \mathbf {\delta r} =-\oint \limits _{C}\operatorname {grad} \Pi \cdot \delta \mathbf {r} =-\oint \limits _{C}\delta \Pi =0,}$

следовательно, ${\displaystyle \Gamma }$ — постоянная величина.

Теорема была сформулирована и доказана У. Томсоном в 1869 году. Дифференциальной формой Теоремы Кельвина является уравнение вихря.

• Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — 7-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с. — (Классики отечественной науки). — ISBN 5-7107-6327-6.
• Сычев В. В., Башкин В. А. Ч. I // Лекции по теоретической гидродинамике. — М.: МФТИ, 2003. — 188 с. — ISBN 5-7417-0222-8.