Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций — утверждения о том, что функция комплексного переменного , регулярная в некоторой бесконечной области и непрерывная в , а также ограниченная на границе области , или ограничена всюду в или внутри достаточно быстро растёт — тем "быстрее", чем меньше область .

Теорема Фрагмена — Линделёфа о верхней полуплоскости

Пусть функция регулярна в полуплоскости и непрерывна в полуплоскости , причём , . Тогда или при всех , или функция имеет в полуплоскости порядок , не меньший единицы.

Пояснения

Число называется порядком целой функции , если . Иначе говоря, целая функция имеет порядок , если для любого существует константа и последовательность возрастающих к положительных чисел , такие, что

,

,

,

.

Доказательство

Доказательство есть в книге [1].

Примечания

Литература

  • Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. — М.: Наука, 1971. — 518 с.