Теория категорий

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике^[1], она также нашла применения в информатике^[2], логике^[3] и в теоретической физике^[4][5]. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell^[6]. Была создана Саундерсом Маклейном и Самуэлем Эйленбергом.

Категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — это:

• класс объектов ${\displaystyle \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}}$;
• для каждой пары объектов ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ задано множество морфизмов (или стрелок) ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$, причём каждому морфизму соответствуют единственные ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$;
• для пары морфизмов ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (B,C)}$ определена композиция ${\displaystyle g\circ f\in \mathrm {Hom} (A,C)}$;
• для каждого объекта ${\displaystyle A}$ задан тождественный морфизм ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)}$;

причём выполняются две аксиомы:

• операция композиции ассоциативна: ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$ и
• тождественный морфизм действует тривиально: ${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f}$ для ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, в которой ${\displaystyle \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}}$ является множеством и ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})}$ (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуру^[7]. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

• Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
• Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
• Vect_K — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
• Категория модулей.
• DE — категория дифференциальных уравнений.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

• Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
• Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
• Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения.

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Для категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ можно определить двойственную категорию ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$, в которой:

• объекты совпадают с объектами исходной категории;
• морфизмы получаются «обращением стрелок»: ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{op}}(B,A)\simeq \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Морфизм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (B,A)}$, что ${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{A}}$ и ${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{B}}$. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {End} (A)=\mathrm {Hom} (A,A)}$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {Aut} (A)}$ по композиции.

Мономорфизм — это морфизм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ такой, что для любых ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (X,A)}$ из ${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}$ следует, что ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$, что для любых ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (B,X)}$ из ${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}$ следует ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$. Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$, терминальным — любое множество из одного элемента ${\displaystyle \{\cdot \}}$.

Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение (пары) объектов A и B — это объект ${\displaystyle A\times B}$ с морфизмами ${\displaystyle p_{1}:A\times B\to A}$ и ${\displaystyle p_{2}:A\times B\to B}$ такими, что для любого объекта ${\displaystyle C}$ с морфизмами ${\displaystyle f_{1}:C\to A}$ и ${\displaystyle f_{2}:C\to B}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle g:C\to A\times B}$ такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна. Морфизмы ${\displaystyle p_{1}:A\times B\to A}$ и ${\displaystyle p_{2}:A\times B\to B}$ называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение ${\displaystyle A+B}$ объектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Соответствующие морфизмы ${\displaystyle \imath _{A}:A\to A+B}$ и ${\displaystyle \imath _{B}:B\to A+B}$ называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств ${\displaystyle A\times B}$, а сумма — дизъюнктное объединение ${\displaystyle A\sqcup B}$.

Пример: В категории колец Ring сумма — это тензорное произведение ${\displaystyle A\otimes B}$, а произведение — прямая сумма колец ${\displaystyle A\oplus B}$.

Пример: В категории Vect_K (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств ${\displaystyle A\oplus B}$.

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$. Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в Vect_K изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения ${\displaystyle \prod _{i\in I}V_{i}}$ являются произвольные бесконечные последовательности элементов ${\displaystyle v_{i}\in V_{i}}$, в то время как элементами бесконечного копроизведения ${\displaystyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$ являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ставит в соответствие каждому объекту категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ объект категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ и каждому морфизму ${\displaystyle f:A\to B}$ морфизм ${\displaystyle F(f):{\mathcal {F}}(A)\to {\mathcal {F}}(B)}$ так, что

• ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A)}}$ и
• ${\displaystyle F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)}$.

Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{op}}$ (или из ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму ${\displaystyle f:A\to B}$ он сопоставляет морфизм ${\displaystyle F(f):{\mathcal {F}}(B)\to {\mathcal {F}}(A)}$, соответственным образом обращается правило композиции: ${\displaystyle F(g)\circ F(f)=F(f\circ g)}$.

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ — ковариантные функторы из категории ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle D}$, то естественное преобразование ${\displaystyle \eta }$ сопоставляет каждому объекту ${\displaystyle X}$ категории ${\displaystyle C}$ морфизм ${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$ таким образом, что для любого морфизма ${\displaystyle f:X\to Y}$ в категории ${\displaystyle C}$ следующая диаграмма коммутативна:

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что ${\displaystyle \eta _{X}}$ — изоморфизм для любого ${\displaystyle X}$.

• Моноидальные категории
• Абелевы категории
• Топосы

• «Category Theory» in Stanford Encyclopedia of Philosophy (англ.).
• И. Иванов. Нужна ли физикам теория категорий?  (рус.) Элементы (10 сентября 2008).
• Category theory in Haskell (англ.). Дата обращения: 13 марта 2011. Архивировано 23 августа 2011 года.

• С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика (рус.). — Москва: Физматлит, 2004.
• С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология (рус.). — Москва: Мир, 1966. — Т. 114. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории (рус.). — 1969. — Т. 06. — (ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия).
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий (рус.). — Москва: Наука, 1970.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий (рус.). — Москва: Наука, 1974.
• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов (рус.). — Москва: Мир, 1972. — С. 259.
• Фейс [Faith C.] том 1 // Алгебра — кольца, модули и категории (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 190. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Фейс [Faith C.] том 2 // Алгебра — кольца, модули и категории (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 191. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 35. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики (рус.). — 1983. — Т. 98. — (Studies in logic & foundation of mathematics).
• Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями (рус.) / под ред. Бухштабер В. М.. — 1983. — Т. 33. — (Новое в зарубежной науке, математика).
• Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А., Шеврин Л. Н., Шульгейфер Е. Г. Общая алгебра (рус.). — Москва: Наука, 1991. — Т. 2. — 480 с. — (Новое в зарубежной науке, математика). — 25 500 экз. — ISBN 5-02-014427-4.
• D. E. Rydeheard, R. M. Burstall. Computational Category Theory (англ.). — New York: Prentice Hall, 1988. — 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу (рус.). — Москва: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
• Р. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic (рус.). — Москва: Мир, 1983. — 488 с.
• Родин А. В. Теория категорий и поиски новых математических оснований физики // Вопросы философии. — 2010. — № 7. — С. 67.