Теория приближений

Теория приближений — раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближённого представления одних математических объектов другими, как правило более простой природы, а также вопросы об оценках вносимой при этом погрешности. Значительная часть теории приближения относится к приближению одних функций другими, однако есть и результаты, относящиеся к абстрактным векторным или топологическим пространствам.

Теория приближений активно используется при построении численных алгоритмов, а также при сжатии информации.

• Вместо вычисления точного значения функции ${\displaystyle \sin x}$ при малых ${\displaystyle x}$ можно воспользоваться самим ${\displaystyle x}$, то есть ${\displaystyle \sin x\approx x}$. Чем больше будет ${\displaystyle x}$, тем больше будет погрешность такого приближения.
• Чтобы запомнить некоторую функцию можно запомнить её значения в некоторых точках (говорят: на сетке), а в остальных точках вычислять её по какой-нибудь интерполяционной формуле. Вопрос об оптимальном выборе (для конкретной функции или для функций из какого-то класса) сетки и формулы относится как раз к теории приближения.

Приближённые формулы вычисления различных функций (таких, как корень) или констант (таких, как ${\displaystyle \pi }$) были известны с глубокой древности.

Началом современной теории приближения принято считать работу П. Л. Чебышёва 1857 года, посвященную полиномам, наименее уклоняющимся от нуля (сейчас их называют полиномами Чебышёва первого рода).

Также к числу классических результатов теории приближения относится теорема Вейерштрасса — Стоуна (или аппроксимационная теорема Вейерштрасса).

Основные научные журналы, посвященные теории приближения:

• Journal on Approximation Theory^[англ.] (на английском языке, выпускается в США, сокращенно JAT)
• East Journal on Approximation^[англ.] (на английском языке, выпускается Россией и Болгарией)
• Constructive Approximation^[англ.] (на английском языке, выпускается в США)

• 2016, 2013, 2010, 2007, 2004, 2001, 1998, 1995, 1992, 1989, 1986, 1983, 1980, 1976, 1973 — 15th International Conference on Approximation Theory, May 22-25, San Antonio, Texas;
• 2009 — Functional Methods in Approximation Theory and Operator Theory III, August 22-26, Свитязь, Волынская область, Украина
• 1999 — International Conference on Approximation Theory and its Applications, May 26-31, Киев

• Vasil A. Popov^[фр.] Prize in Approximation Theory^[фр.]

• Чебышёв, Пафнутий Львович
• Бернштейн, Сергей Натанович
• Дзядык, Владислав Кириллович
• Геронимус, Яков Лазаревич
• Колмогоров, Андрей Николаевич
• Никольский, Сергей Михайлович
• Ахиезер, Наум Ильич
• Тиман, Александр Филиппович
• Ремез, Евгений Яковлевич
• Степанец, Александр Иванович
• Стечкин, Сергей Борисович
• Корнейчук, Николай Павлович
• Тихомиров, Владимир Михайлович
• Лигун, Анатолий Александрович
• Кашин, Борис Сергеевич
• Конягин, Сергей Владимирович

• Аппроксимация
• Метод наименьших квадратов
• Многочлены Чебышёва
• Оператор наилучшего приближения
• Сплайн
• Атомарная функция