Тест Шура

Перейти к навигации Перейти к поиску

В функциональном анализе тест Шура (названный в честь математика Исая Шура) применяется для интегральных операторов с ядром, действующим $L^{2}\to L^{2}$ .

Такой тест позволяет дать оценку норме интегрального оператора, что позволяет делать вывод о его непрерывности.

Определение

Пусть $S,\,T$ это два измеримых множества (например $\mathbb {R} ^{n}$ ), пусть $U$ это интегральный оператор:

$(Uf)(s)=\int _{T}K(s,t)f(t)\,dt$ с ядром $K(s,t):S\times T\to \mathbb {R} (\mathbb {C} )$ .

Если найдутся функции $\phi :S\to \mathbb {R} >0$ и $\psi :T\to \mathbb {R} >0$ и числа $A,B>0$ такие что:

(1)\qquad \int _{S}|K(s,t)|\phi (s)\,ds\leq A\psi (t)

для почти всех $t\in T$ и

(2)\qquad \int _{T}|K(s,t)|\psi (t)\,dt\leq B\phi (s)

для почти всех $s\in S$ ,

Тогда $U$ непрерывный оператор действующий $U:L^{2}\to L^{2}$ с нормой: $\Vert U\Vert _{L^{2}\to L^{2}}\leq {\sqrt {AB}}.$

(Функции $\phi$ , $\psi$ называют функциями теста Шура)

Доказательство

$|(Uf)(s)|={\biggl |}\int _{T}K(s,t)\cdot f(t)dt{\biggr |}\leq \int _{T}{\sqrt {|K(s,t)|\cdot \psi (t)}}\cdot {\sqrt {|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)}}}}\cdot dt\leq$
по неравенству Шварца:
$\leq {\sqrt {\int _{T}|K(s,t)|\cdot \psi (t)\cdot dt}}\cdot {\sqrt {\int _{T}|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)}}\cdot dt}}$
возведем в квадрат и проинтегрируем по $S$ :
$\int _{S}|(Uf)(s)|^{2}\cdot ds\leq B\int _{S}\phi (s)\int _{T}|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)}}\cdot dtds=$
далее по теореме Фубини:
$=B\int _{T}{\frac {|f(t)|^{2}}{\psi (t)}}\int _{S}|K(s,t)|\cdot \phi (s)\cdot dsdt\leq AB\int _{T}|f(t)|^{2}\cdot dt$
следовательно извлекая корень:
$||U(f)||_{2}\leq {\sqrt {AB}}\cdot ||f||_{2}$

См. также

Непрерывный оператор
Шур, Исай

Похожие исследовательские статьи

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. На языке КТП основываются физика высоких энергий и физика элементарных частиц, её математический аппарат используется в физике конденсированного состояния. КТП в виде Стандартной модели в настоящее время является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описывать и предсказывать результаты экспериментов при достижимых в современных ускорителях высоких энергиях.

Уравне́ние Шрёдингера — линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах.

Теоре́ма Нётер или первая теорема Нётер утверждает, что каждой дифференцируемой симметрии действия для физической системы с консервативными силами соответствует закон сохранения. Теорема была доказана математиком Эмми Нётер в 1915 году и опубликована в 1918 году. Действие для физической системы представляет собой интеграл по времени функции Лагранжа, из которого можно определить поведение системы согласно принципу наименьшего действия. Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям над физическим пространством.

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями . Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Лагранжиа́н, фу́нкция Лагра́нжа $\text{[math]}$ динамической системы, является функцией обобщённых координат $\text{[math]}$ и описывает развитие системы. Например, уравнения движения в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

\text{[math]}

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости. В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю. В. Линник, И. В. Островский, К. Р. Рао, Б. Рамачандран.

Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру $\text{[math]}$ и двойным интегралом по односвязной области $\text{[math]}$ , ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.

В квантовой механике ток вероятности описывает изменение функции плотности вероятности.

В физике элементарных частиц взаимодействие Юкавы, названное в честь Хидэки Юкавы — это взаимодействие между скалярным полем $\text{[math]}$ и дираковским полем $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

(скаляр) или

\text{[math]}

(псевдоскаляр).

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Квазичастицы в графене обладают линейным законом дисперсии вблизи дираковских точек и их свойства полностью описываются уравнением Дирака. Сами дираковские точки находятся на краях зоны Бриллюэна, где электроны обладают большим волновым вектором. Если пренебречь процессами переброса между долинами, то этот большой вектор никак не влияет на транспорт в низкоэнергетическом приближении, поэтому волновой вектор, фигурирующий в уравнении Дирака, отсчитывают от дираковских точек и уравнение Дирака записывают для разных долин отдельно.

Парадо́кс Кле́йна в графе́не — прохождение любых потенциальных барьеров без обратного рассеяния под прямым углом. Эффект связан с тем, что спектр носителей тока в графене линейный и квазичастицы подчиняются уравнению Дирака для графена. Эффект предсказан теоретически в 2006 году для прямоугольного барьера.

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Ве́кторный потенциа́л электромагни́тного по́ля — в электродинамике, векторный потенциал, ротор которого равен магнитной индукции:

\text{[math]}

В математике теория момента остановки или марковский момент времени связана с проблемой выбора времени, чтобы принять определённое действие, для того чтобы максимизировать ожидаемое вознаграждение или минимизировать ожидаемые затраты. Проблема момента остановки может быть найдена в области статистики, экономики и финансовой математики. Самым ярким примером, относящимся к моменту остановки, является Задача о разборчивой невесте. Проблема момента остановки часто может быть указана в форме уравнения Беллмана и поэтому часто решается с помощью динамического программирования.

Концептуальные программы в физике — принятые в физике наиболее общие математические модели. Различные области физики имеют различные программы для моделирования состояний физических систем.

Тождество Похожаева — это интегральное соотношение, которому удовлетворяют стационарные локализованные решения нелинейного уравнения Шредингера или нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Оно было получено С.И. Похожаевым и аналогично теореме о вириале. Это соотношение также известно как теорема Д.Г. Деррика. Аналогичные тождества могут быть получены и для других уравнений математической физики.

Спектральная мера - это отображение, определённое на $\text{[math]}$ -алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.