Тетраэдр

Тетра́эдр (др.-греч. τετράεδρον «четырёхгранник»^[1] ← τέσσαρες / τέσσερες / τέτταρες / τέττορες / τέτορες «четыре» + ἕδρα «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника^[2].

Тетраэдр является треугольной пирамидой при принятии любой из граней за основание. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

• Параллельные плоскости, проходящие через три пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

• Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части^[3]:216-217.

• Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра.
  • Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).

• Центры сфер, которые проходят через три вершины и инцентр, лежат на сфере, центр которой совпадает с центром описанной сферы.
  • Также это утверждение верно и для внешних инцентров.

• Плоскости, которые проходят через середину ребра и перпендикулярны противоположному ребру,пересекаются в одной точке (ортоцентр).
  • Ортоцентр в симплексе определяется как пересечение гиперплоскостей, которые перпендикулярны ребру и проходят через центр тяжести противоположного элемента.

• Центр сферы(F),которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра, центр тяжести тетраэдра(M), центр описанной сферы(R) и ортоцентр (H) лежат на одной прямой. При этом ${\displaystyle RM=MH=3\cdot MF}$.

• Центр сферы (S) вписанный в дополнительный тетраэдр,центр сферы (N) вписанный в антидополнительный тетраэдр, центр тяжести тетраэдра (M) и центр вписанной сферы (I) лежат на одной прямой.

• Пусть точка G₁ делит отрезок соединяющий ортоцентр(H) и вершину 1 в отношении 1:2. Опустим перпендикуляр с точки G₁ на грань противолежащей вершине 1. Перпендикуляр пересекает грань в точке W₁. Точки G₁ и W₁ лежат на сфере (сфере Фейербаха), которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра.

• Сечение плоскостью, проходящей через середины четырёх рёбер тетраэдра, является параллелограммом.

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Развёрткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделённый тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Свойства равногранного тетраэдра:

• Все его грани равны (конгруэнтны).
• Скрещивающиеся рёбра попарно равны.
• Трёхгранные углы равны.
• Противолежащие двугранные углы равны.
• Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
• Развёртка тетраэдра — треугольник или параллелограмм.
• Описанный параллелепипед прямоугольный.
• Тетраэдр имеет три оси симметрии.
• Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.
• Средние линии попарно перпендикулярны.
• Периметры граней равны.
• Площади граней равны.
• Высоты тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
• Радиусы описанных около граней окружностей равны.
• Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
• Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
• Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
• Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
• Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням) равна нулю.
• Сумма всех двугранных углов равна нулю.
• Центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере.

Все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

• Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
• Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
• Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
• Суммы квадратов противоположных рёбер тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, равны.
• Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
• Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположных рёбер.
• У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера) каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
• У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере (сфере 12 точек).

Все рёбра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда.

Это тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий^[4]:

• существует сфера, касающаяся всех рёбер,
• суммы длин скрещивающихся рёбер равны,
• суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны,
• окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
• все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, — описанные,
• перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

У этого типа бивысоты равны.

Свойства соразмерного тетраэдра:

• Бивысоты равны. Бивысотами тетраэдра называют общие перпендикуляры к двум скрещивающимся его рёбрам (рёбрам, не имеющим общих вершин).
• Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане, есть ромб. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).
• Грани описанного параллелепипеда равновелики.
• Выполняются соотношения: ${\displaystyle 4a^{2}{a_{1}}^{2}-(b^{2}+{b_{1}}^{2}-c^{2}-{c_{1}}^{2})^{2}=4b^{2}{b_{1}}^{2}-(c^{2}+{c_{1}}^{2}-a^{2}-{a_{1}}^{2})^{2}=4c^{2}{c_{1}}^{2}-(a^{2}+{a_{1}}^{2}-b^{2}-(b_{1})^{2})^{2}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b_{1}}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle c_{1}}$ — длины противоположных рёбер.
• Для каждой пары противоположных рёбер тетраэдра плоскости, проведённые через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
• В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.

У этого типа отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке. Свойства инцентрического тетраэдра:

• Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка — центр тяжести тетраэдра.
• Замечание. Если в последнем условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра. Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров — инцентрических.
• Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
• Биссектрисы углов двух граней, проведённому к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
• Произведения длин противоположных рёбер равны.
• Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трёх рёбер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих рёбер, является равносторонним.

Это равногранный тетраэдр, у которого все грани — правильные треугольники. Является одним из пяти платоновых тел.

Свойства правильного тетраэдра:

• все рёбра тетраэдра равны между собой,
• все грани тетраэдра равны между собой,
• периметры и площади всех граней равны между собой.
• Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим, каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
• Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
• Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный.
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
• Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причём рёбра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше рёбер правильного тетраэдра.
• Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
• Правильный тетраэдр можно вписать в додекаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами додекаэдра.
• Скрещивающиеся рёбра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

• Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4}),}$ равен

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},}$

или

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\ SH,}$

где ${\displaystyle S}$ — площадь любой грани, а ${\displaystyle H}$ — высота, опущенная на эту грань.

• Объём тетраэдра через длины рёбер выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:

${\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.}$

• Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
• Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b, как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол ${\displaystyle \phi }$, находится по формуле:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .}$

• Объём тетраэдра через длины трёх его рёбер a, b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$, находится по формуле^[5]

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\ abc{\sqrt {D}},}$

где $${\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix}}.}$$

• Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол ${\displaystyle \gamma }$:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\ ab{\sqrt {D}},}$

где ${\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.}$

Есть аналог формулы Герона для объёма тетраэдра ^[6]

Обозначения:

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),}$${\displaystyle \mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),}$${\displaystyle \mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})}$ — координаты вершин тетраэдра.

• Объём тетраэдра (с учётом знака):

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}}$.

• Координаты центра тяжести (пересечение медиан): ${\displaystyle \mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})}$

${\displaystyle x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};}$${\displaystyle y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}};}$${\displaystyle z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.}$

• Координаты центра вписанной сферы: ${\displaystyle \mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})}$

${\displaystyle x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}$${\displaystyle y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}$${\displaystyle z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},}$

где ${\displaystyle S_{1}}$ — площадь грани, противолежащей первой вершине, ${\displaystyle S_{2}}$ — площадь грани, противолежащей второй вершине и так далее.

Соответственно уравнение вписанной сферы:

${\displaystyle (x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой вершине:

${\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой и второй вершинам (количество таких сфер может варьироваться от нуля до трёх):

${\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

• Уравнение описанной сферы:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Обозначения:

${\displaystyle \mathbf {J} (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})=\alpha _{1}\mathbf {J_{1}} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,}$ — барицентрические координаты.

• Объём тетраэдра (с учётом знака): Пусть ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).}$ — координаты вершин тетраэдра.

Тогда

${\displaystyle V={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3}+t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',}$ где ${\displaystyle V'}$ — объем базисного тетраэдра.

• Координаты центра тяжести (пересечение медиан): ${\displaystyle \mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).}$

• Координаты центра вписанной сферы: ${\displaystyle \mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).}$

• Координаты центра описанной сферы:

${\displaystyle \mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf {J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}.}$

• Расстояние между точками ${\displaystyle \mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}),\mathbf {J} _{B}(B_{1},B_{2},B_{3},B_{4})}$:

Пусть ${\displaystyle C_{1}={\frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{1}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}}$ и так далее.

Тогда расстояние между двумя точками: ${\displaystyle d^{2}=-(C_{1}C_{2}\alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}\alpha _{1,3}^{2}+C_{1}C_{4}\alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}\alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_{4}\alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}\alpha _{3,4}^{2}).}$

• Уравнение плоскости по трём точкам:

Здесь и дальше будут приведённые координаты.

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z&t\\x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\\end{vmatrix}}=0.}$

• Уравнение сферы по центру и радиусу:

${\displaystyle R^{2}=-((x-x_{0})(y-y_{0})\alpha _{1,2}^{2}+(x-x_{0})(z-z_{0})\alpha _{1,3}^{2}+(x-x_{0})(t-t_{0})\alpha _{1,4}^{2}+(y-y_{0})(z-z_{0})\alpha _{2,3}^{2}+(y-y_{0})(t-t_{0})\alpha _{2,4}^{2}+(z-z_{0})(t-t_{0})\alpha _{3,4}^{2}).}$

• Уравнение плоскости по точке и вектору нормали:

${\displaystyle (\eta _{1}(y-y_{0})+\eta _{2}(x-x_{0}))\alpha _{1,2}^{2}+(\eta _{1}(z-z_{0})+\eta _{3}(x-x_{0}))\alpha _{1,3}^{2}+(\eta _{1}(t-t_{0})+\eta _{4}(x-x_{0}))\alpha _{1,4}^{2}+(\eta _{2}(z-z_{0})+\eta _{3}(y-y_{0}))\alpha _{2,3}^{2}+(\eta _{2}(t-t_{0})+\eta _{4}(y-y_{0}))\alpha _{2,4}^{2}+(\eta _{3}(t-t_{0})+\eta _{4}(z-z_{0}))\alpha _{3,4}^{2}=0.}$ Так как вектор это разность двух точек(начало и конца вектора), то ${\displaystyle \eta _{1}+\eta _{2}+\eta _{3}+\eta _{4}=0.}$

Площадь(Объём)
${\displaystyle S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}}$	${\displaystyle V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}}$, где ${\displaystyle \alpha _{1,2}}$ — расстояние между вершинами 1 и 2
${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}}$	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}}$
${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }$	${\displaystyle V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2})}$, где ${\displaystyle \phi _{1,2}}$ — угол между гранями 1 и 2, ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2
Длина(площадь) биссектрисы
${\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}$	${\displaystyle L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+S_{2}}}}$
Длина медианы
${\displaystyle m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}}$	${\displaystyle m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4}^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{3}}}$
Радиус вписанной окружности(сферы)
${\displaystyle r={\frac {2S}{a+b+c}}}$	${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}}}$
Радиус описанной окружности(сферы)
${\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}}$	${\displaystyle R={\frac {S_{T}}{6V}}}$, где ${\displaystyle S_{T}}$ — площадь треугольника со сторонами ${\displaystyle \alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2,3}}$
Теорема косинусов
${\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$	${\displaystyle \cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}}$, где ${\displaystyle \phi _{1,2}}$ — угол между гранями 1 и 2, ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2, ${\displaystyle A_{1,2}}$ — алгебраическое дополнение элемента ${\displaystyle \alpha _{2,1}^{2}}$ матрицы ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}}$
Теорема синусов
${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$	${\displaystyle {\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}}{\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}}$, где ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4, ${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos(B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatrix}}}}$, где ${\displaystyle A,B,C}$ — двугранные углы вершины.
Теорема о сумме углов треугольника(соотношение между двугранными углами тетраэдра)
${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$	${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,1}\right)\\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0}$, где ${\displaystyle \phi _{1,2}}$ — угол между гранями 1 и 2
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (сфер)
${\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr}$	${\displaystyle R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}}$, где ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4. Другая запись выражения: ${\displaystyle R^{2}-d^{2}=2rT,}$ где ${\displaystyle T}$ — расстояние между центром описанной сферы и центром сферы, проходящая через три вершины и инцентр.

Существует множество формул нахождения объёма неевклидовых тетраэдров. Например, формула Деревнина — Медных^[7] для гиперболического тетраэдра и формула Дж. Мураками^[8] для сферического тетраэдра. Объём тетраэдра в сферическом пространстве и в пространстве Лобачевского, как правило, не выражается через элементарные функции.

${\displaystyle \operatorname {det} \Psi >0}$ — для сферического тетраэдра.

${\displaystyle \operatorname {det} \Psi <0}$ — для гиперболического тетраэдра.

Где ${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\-\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}}$ — матрица Грама для двугранных углов сферического и гиперболического тетраэдра.

${\displaystyle A_{i,j}}$ — угол между гранями, противолежащими i и j вершине.

${\displaystyle \cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi _{i,j}}{\sqrt {\Phi _{i,i}\Phi _{j,j}}}}}$ — для сферического и гиперболического тетраэдра.

${\displaystyle \cos(\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j}}{\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j}}}}}$ — для сферического тетраэдра.

${\displaystyle \operatorname {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j}}{\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j}}}}}$ — для гиперболического тетраэдра.

Где ${\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}}$ — матрица Грама для приведённых рёбер сферического тетраэдра.

${\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})\\\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})\\\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}}$ — матрица Грама для приведённых рёбер гиперболического тетраэдра.

${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ — приведенное расстояние между i и j вершин.

${\displaystyle \Psi _{i,j}}$ — алгебраическое дополнение матрицы ${\displaystyle \Psi }$.

${\displaystyle {\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2}}}={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4}}}}$ — для сферического и гиперболического тетраэдра.

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)}}\\\end{vmatrix}}=0}$ — для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения: ${\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}{\overrightarrow {n_{2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}{\overrightarrow {n_{3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}{\overrightarrow {n_{4}}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}$, где ${\displaystyle {\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}}$ нормали граней тетраэдра.

Или с координатами вершин тетраэдра: ${\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}}}&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2}&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{vmatrix}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}$.

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}(R)}}\\\end{vmatrix}}=0}$ — для гиперболического тетраэдра.

${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}(r)}}={\frac {1}{\operatorname {det} \Phi }}(\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+{}}$

${\displaystyle {}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2}}}\cos(\alpha _{1,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+{}}$

${\displaystyle {}+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4}))}$ —

для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения:

${\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}{\overrightarrow {r_{2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}{\overrightarrow {r_{3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}{\overrightarrow {r_{4}}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}$,

где ${\displaystyle {\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}}$ единичные радиус векторы вершин тетраэдра.

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)}}=-{\frac {1}{\operatorname {det} \Phi }}(\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+{}}$

${\displaystyle {}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,4})+{}}$

${\displaystyle {}+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\operatorname {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{3,4}))}$ —

для гиперболического тетраэдра.

${\displaystyle {\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)}}={\frac {{\sqrt {\Phi _{1,1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}$ — для сферического тетраэдра.