Тетраэдральная симметрия

Точечная группа в трёхмерном пространстве
Группы многогранников, [n,3], (*n32)
Симметрии-инволюции C_s, (*) [ ] =	Циклическая симметрия C_nv, (*nn) [n] =	Диэдральная симметрия D_nh, (*n22) [n,2] =
Тетраэдральная симметрия T_d, (*332) [3,3] =	Октаэдральная симметрия O_h, (*432) [4,3] =	Икосаэдральная симметрия I_h, (*532) [5,3] =

Правильный тетраэдр является примером тела с полной тетраэдральной симметрией

Правильный тетраэдр имеет 12 вращательных (сохраняющих ориентацию) симметрий и симметрии^[англ.] порядка 24, включающие комбинацию отражений и вращений.

Группа всех симметрий изоморфна группе S₄, симметрической группе перестановок четырёх элементов, поскольку имеется ровно одна такая симметрия для каждой перестановки вершин тетраэдра. Множество сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которая является знакопеременной подгруппой A₄ группы S₄.

Детали

Хиральная и полная (или ахиральная тетраэдральная симметрия и пиритоэдральная симметрия) являются симметриями дискретных точек (или, что то же самое, симметриями на сфере). Они входят в кристаллографические группы симметрии кубической сингонии.

В стереографической проекции рёбра тетракисгексаэдра образуют 6 окружностей (или центральных радиальных прямых) на плоскости. Каждая из этих окружностей представляет зеркало в тетраэдральной симметрии. Пересечение этих окружностей дают точки вращения порядка 2 и 3.

Ортогональная проекция	Стереографическая проекция
Ортогональная проекция	4-кратная	3-кратная	2-кратная
Хиральная тетраэдральная симметрия, T, (332), [3,3]⁺ = [1⁺,4,3⁺], =

Пиритоэдральная симметрия,T_h, (3*2), [4,3⁺],

Ахиральная тетраэдральная симметрия, T_d, (*332), [3,3] = [1⁺4,3], =

Хиральная тетраэдральная симметрия

Тетраэдральная группа вращений T с фундаментальной областью. Для триакистетраэдра (см. ниже) область является полной гранью	Тетраэдр можно расположить в 12 различных положениях, используя лишь вращение. Это проиллюстрировано выше в виде графа циклов, с поворотами рёбер на 180° (голубые стрелки) и поворотами вершин на 120° (красные стрелки) .	В триакистетраэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией можно получить путём изменения ориентации граней. Например, сплющивание некоторого подмножества граней, чтобы образовать одну грань, или заменой одной грани группой граней, или даже кривой поверхностью.

T, 332, [3,3]⁺, или 23 порядка 12 – хиральная или вращательная тетраэдральная симметрия. Имеется три ортогональных 2-кратных осей вращения, наподобие хиральной диэдральной симметрии^[англ.] D₂ или 222, а также четыре дополнительных 3-кратных оси. Эта группа изоморфна A₄, знакопеременной группе 4 элементов. Фактически это группа чётных перестановок четырёх 3-кратных осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Классами сопряжённости T являются:

тождество
4 × вращение на 120° по часовой стрелке (если смотреть от вершины): (234), (143), (412), (321)
4 × вращение на 120° против часовой стрелки (то же самое)
3 × вращение на 180°

Вращения на 180° вместе с тождественным преобразованием образуют нормальную подгруппу типа Dih₂ с факторгруппой типа Z₃. Тремя элементами последней являются тождественное преобразование, "вращение по часовой стрелке " и "вращение против часовой стрелки ", соответствующие перестановкам трёх ортогональных 2-кратных осей с сохранением ориентацию.

A₄ является наименьшей группой, показывающей, что теорема, обратная теореме Лагранжа, в общем случае, не верна — если дана конечная группа G и делитель d числа |G|, не обязательно существует подгруппа группы G с порядком d — группа G = A₄ не имеет подгруппы порядка 6.

Подгруппы хиральной тетраэдральной симметрии

Шён- флис	Коксетер ^[англ.]		Орби- фолд^[англ.]	Г-М	Структура	Порядок^[англ.]	Индекс
T	[3,3]⁺	=	332	23	A₄	12	1
D₂	[2,2]⁺	=	222	222	Dih₂	4	3
C₃	[3]⁺		33	3	Z₃	3	4
C₂	[2]⁺		22	2	Z₂	2	6
C₁	[ ]⁺		11	1	Z₁	1	12

Ахиральная тетраэдральная симметрия

T_d, *332, [3,3] или 43m порядка 24 – ахиральная или полная тетраэдральная симметрия, известная также как группа треугольника (2,3,3). Эта группа имеет те же оси вращений, что и T, но с шестью плоскостями зеркальной симметрии, проходящими через каждую пару 3-кратных осей. 2-кратные оси являются теперь осями S₄ (4). T_d и O изоморфны как абстрактные группы – обе группы соответствуют S₄, симметрической группе 4 элементов. T_d является объединением T и множества, полученного комбинацией каждого элемента O \ T с центральной симметрией. См. также изометрии правильного тетраэдра.

Классами сопряжённости T_d являются:

тождество
8 × вращение на 120°
3 × вращение на 180°
6 × отражение относительно плоскости, проходящей через две оси вращения
6 × зеркальный поворот на 90°

Подгруппы ахиральной тетраэдральной симметрии

Шён- флис	Коксетер ^[англ.]	Орби- фолд^[англ.]	Г-М	Структура	Порядок^[англ.]	Индекс
T_d	[3,3]	*332	43m	S₄	24	1
C_3v	[3]	*33	3m	Dih₃=S₃	6	4
C_2v	[2]	*22	mm2	Dih₂	4	6
C_s	[ ]	*	2 or m	Dih₁	2	12
D_2d	[2⁺,4]	2*2	42m	Dih₄	8	3
S₄	[2⁺,4⁺]	2×	4	Z₄	4	6
T	[3,3]⁺	332	23	A₄	12	2
D₂	[2,2]⁺	222	222	Dih₂	4	6
C₃	[3]⁺	33	3	Z₃ = A₃	3	8
C₂	[2]⁺	22	2	Z₂	2	12
C₁	[ ]⁺	11	1	Z₁	1	24

Пиритоэдральная симметрия

T_h, 3*2, [4,3⁺] или m3 порядка 24 – пиритоэдральная симметрия. Эта группа имеет те же самые оси вращения, что и T с зеркальными плоскостями через два ортогональных направления. 3-кратные оси теперь являются осями S₆ (3), и имеется центральная симметрия. T_h изоморфна T × Z₂ — каждый элемент T_h является либо элементом T, либо элементом, комбинированным с центральной симметрией. Кроме этих двух нормальных подгрупп, имеется ещё одна нормальная подгруппа D_2h (прямоугольного параллелепипеда), типа Dih₂ × Z₂ = Z₂ × Z₂ × Z₂. Она является прямым произведением нормальной подгруппы T (см. выше) с C_i. Факторгруппа та же самая, что и выше — Z₃. Три элемента последней — тождественное преобразование, "вращение по часовой " и "вращение против часовой ", соответствующие перестановкам трёх ортогональных 2-кратных осей с сохранением ориентации.

Это симметрия куба, у которого каждая грань разделена отрезком на два прямоугольника, причём никакие два отрезка не имеют вершин на одном ребре куба. Симметрии соответствуют чётным перестановкам диагоналей куба вместе с центральной инверсией. Симметрия пентагондодекаэдра крайне близка к описанной выше симметрии куба. Пиритоэдр можно получить из куба с разделёнными пополам гранями путём заменены прямоугольников пятиугольниками с одной осью симметрии и 4 равными сторонами, одна сторона отлична по длине (та, которая соответствует отрезку, делящему квадратную грань куба пополам). То есть грани куба выпячиваются по делящему отрезку, а сам отрезок становится меньше. Симметрия куба с разделёнными гранями является подгруппой группы полной икосаэдральной симметрии (как группа изометрии, не просто как абстрактная группа) с 4 из 10 3-кратных осей.

Классы сопряжённости T_h включают классы сопряжённости T с комбинациями двух классов из 4, а также каждый с класс с центральной симметрией:

тождество
8 × вращение на 120°
3 × вращение на 180°
центральная симметрия
8 × зеркальный поворот на 60°
3 × зеркальное отражение (относительно плоскости)

Подгруппы пиритоэдральной симметрии

Шён- флис	Коксетер ^[англ.]	Орби- фолд^[англ.]	Г-М	Структура	Порядок^[англ.]	Индекс
T_h	[3⁺,4]	3*2	m3	A₄×2	24	1
D_2h	[2,2]	*222	mmm	Dih₂×Dih₁	8	3
C_2v	[2]	*22	mm2	Dih₂	4	6
C_s	[ ]	*	2 or m	Dih₁	2	12
C_2h	[2⁺,2]	2*	2/m	Z₂×Dih₁	4	6
S₂	[2⁺,2⁺]	×	1	2 or Z₂	2	12
T	[3,3]⁺	332	23	A₄	12	2
D₃	[2,3]⁺	322	3	Dih₃	6	4
D₂	[2,2]⁺	222	222	Dih₄	4	6
C₃	[3]⁺	33	3	Z₃	3	8
C₂	[2]⁺	22	2	Z₂	2	12
C₁	[ ]⁺	11	1	Z₁	1	24

Тела с хиральной тетраэдральной симметрией

Икосаэдр, раскрашенный как плосконосый тетраэдр, имеет хиральную симметрию.

Тела с полной тетраэдральной симметрией

Класс	Название	Граней	Рёбер	Вершин
Платоново тело	Тетраэдр	4	6	4
Архимедово тело	Усечённый тетраэдр	8	18	12
Каталаново тело	Триакистетраэдр	12	18	8
Почти многогранник Джонсона	Усечённый Триакистетраэдр^[англ.]	16	42	28
Почти многогранник Джонсона	Тетраэдный додекаэдр^[англ.]	28	54	28
Однородный звёздчатый многогранник	Тетрагемигексаэдр	7	12	6

См. также

Примечания

Литература

P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 295. — ISBN 0-521-55432-2.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York: A K Peters/CRC Press,, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.