Тетраэдральное число
Тетраэдра́льные числа, называемые также треугольными пирамидальными числами — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник. -е по порядку тетраэдра́льное число определяется как сумма первых треугольных чисел :
Начало последовательности тетраэдральных чисел:
- 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS).
Формула
Общая формула для -го тетраэдрального числа:
Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:
Свойства
Тетраэдральные числа находятся на 4-й позиции каждой строки в треугольнике Паскаля.
Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами:
- ,
- ,
- .
Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
Можно заметить, что:
Ряд из обратных тетраэдральных чисел является телескопическим и поэтому сходится:
Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов[1][2].
Многомерное обобщение
Трёхмерные тетраэдральные числа можно обобщить на четыре и более измерений, аналогично переходу от треугольных чисел к тетраэдральным. Аналогом тетраэдральных чисел в -мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральными[3]:
- .
Их частным случаем выступают:
- — треугольные числа.
- — тетраэдральные числа.
- — пентатопные числа.
Примечания
- ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.
- ↑ Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — .
- ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 126—134.
Литература
- Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
- Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
- Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
Ссылки
- Фигурные числа
- Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
- On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà