Тихоновский куб

Перейти к навигации Перейти к поиску

Тихоновский куб — единичный куб в $m$ -мерном пространстве, где $m$ — произвольное кардинальное число, называемое весом куба (оно равно весу тихоновского куба как топологического пространства), то есть, $m$ -кратное прямое произведение (с топологией произведения) единичного отрезка $\mathbb {I} =[0,1]$ — $\mathbb {I} ^{m}$ . Введён в общую топологию в 1929 году Андреем Николаевичем Тихоновым.

Если $m$ — натуральное число, то тихоновский куб является единичным кубом в евклидовом пространстве; гильбертов кирпич — тихоновский куб счётного веса.

Тихоновский куб $\mathbb {I} ^{m}$ — универсальное пространство для всех тихоновских пространств и компактных хаусдорфовых пространств веса не больше $m$ . По теореме Тихонова тихоновский куб любого веса компактен. Если $n\leqslant m$ , то куб $\mathbb {I} ^{n}$ вкладывается в $\mathbb {I} ^{m}$ . Число Суслина для любого тихоновского куба счётно, вне зависимости от его веса.

Литература

Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 137—139. — 752 с.
Тихоновский куб — статья из Математической энциклопедии. Архангельский А. В.

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Сепара́бельное пространство — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.

<span class="mw-page-title-main">Рациональное число</span> число, которое можно представить обыкновенной дробью , где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число

Рациона́льное число́ — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — целое число, а $\text{[math]}$ — натуральное. Пример: $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ , а $\text{[math]}$ .

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

Ка́нторово мно́жество — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Гильбертов кирпич — тихоновский куб счётного веса, то есть топологическое пространство, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков $\text{[math]}$ .

База топологии — семейство открытых подмножеств топологического пространства $\text{[math]}$ , такое, что любое открытое множество в $\text{[math]}$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Прямое произведение — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов заданных двух непустых исходных множеств. Предполагается, что впервые «декартово» произведение двух множеств ввёл Георг Кантор.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

Вполне регулярное пространство или тихоновское пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁ и T_3½, то есть такое топологическое пространство, в котором все одноточечные множества замкнуты и для любого замкнутого множества и точки вне его существует непрерывная числовая функция, равная единице на множестве и нулю в точке (А. Н. Тихонов, 1930).

<span class="mw-page-title-main">Единичный куб</span>

Единичный куб — куб, ребром которого является единичный отрезок, соответственно, гранью — единичный квадрат. В прямоугольной координатной системе обычно предполагается, чтобы одна вершина находилась в начале координат, все рёбра были параллельны координатным осям и весь куб находился в первом октанте, то есть, чтобы координаты вершин были:

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки $\text{[math]}$ , единичного полуинтервала $\text{[math]}$ и произвольного множества $\text{[math]}$ заданной мощности $\text{[math]}$ , называемой колючестью ежа, как:

\text{[math]}

Совершенное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором каждое замкнутое множество является G_δ-множеством, то есть представимо в виде счётного пересечения открытых множеств.

Универсальное пространство — топологическое пространство $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ принадлежит классу $\text{[math]}$ и каждое пространство $\text{[math]}$ из класса $\text{[math]}$ вкладывается в $\text{[math]}$ , то есть $\text{[math]}$ гомеоморфно подпространству пространства $\text{[math]}$ . С помощью универсальных пространств можно свести изучение класса топологических пространств к изучению подпространств конкретного пространства. Часто для доказательства универсальности пространства используется теорема о диагональном отображении.

Полное по Чеху пространство — топологическое пространство, являющееся G-дельта-множеством в некотором объемлющем хаусдорфовом компакте.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.