Тождество восьми квадратов

Тождество восьми квадратов — следующее тождество, выражающее произведение сумм восьми квадратов в виде суммы восьми квадратов:

${\begin{aligned}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2})=\\=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}+\\+(a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}+a_{4}b_{3}-a_{3}b_{4}+a_{6}b_{5}-a_{5}b_{6}-a_{8}b_{7}+a_{7}b_{8})^{2}+\\+(a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}+a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+a_{7}b_{5}+a_{8}b_{6}-a_{5}b_{7}-a_{6}b_{8})^{2}+\\+(a_{4}b_{1}+a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}+a_{1}b_{4}+a_{8}b_{5}-a_{7}b_{6}+a_{6}b_{7}-a_{5}b_{8})^{2}+\\+(a_{5}b_{1}-a_{6}b_{2}-a_{7}b_{3}-a_{8}b_{4}+a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}+a_{4}b_{8})^{2}+\\+(a_{6}b_{1}+a_{5}b_{2}-a_{8}b_{3}+a_{7}b_{4}-a_{2}b_{5}+a_{1}b_{6}-a_{4}b_{7}+a_{3}b_{8})^{2}+\\+(a_{7}b_{1}+a_{8}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{6}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{6}+a_{1}b_{7}-a_{2}b_{8})^{2}+\\+(a_{8}b_{1}-a_{7}b_{2}+a_{6}b_{3}+a_{5}b_{4}-a_{4}b_{5}-a_{3}b_{6}+a_{2}b_{7}+a_{1}b_{8})^{2}.\end{aligned}}$

История

Впервые открытое датским математиком Фердинандом Дегеном^[англ.] около 1818 года, это замечательное тождество было переоткрыто дважды: Томасом Грейвсом^[англ.] в 1843 году и Артуром Кэли в 1845 году. Кэли вывел его, работая над обобщением кватернионов, названным октонионами. В алгебраических терминах тождество означает, что норма произведения двух октонионов равняется произведению их норм: $\|a\cdot b\|=\|a\|\cdot \|b\|$ .

Подобное утверждение верно для кватернионов («тождество четырёх квадратов»), комплексных чисел («тождество Диофанта — Брахмагупты — Фибоначчи») и действительных чисел. В 1898 году Адольф Гурвиц доказал, что ни для 16 (седенионы), ни для любого другого количества квадратов, кроме 1, 2, 4 и 8, подобного тождества не существует.

Ссылки

Degen’s eight-square identity (англ.)

Похожие исследовательские статьи

Кватернио́ны — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом $\text{[math]}$ . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

<span class="mw-page-title-main">Скалярное произведение</span> операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр

Скаля́рное произведе́ние — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат. Используется в определении длины векторов и угла между ними.

121 — натуральное число, расположенное между числами 120 и 122.

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — разложение произведения сумм четырёх квадратов в сумму четырёх квадратов.

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается $\text{[math]}$ , поскольку её элементы называются иногда октонионами или октавами.

<span class="mw-page-title-main">Седенион</span> элемент 16-мерной алгебры над полем вещественных чисел

Седенио́н — элемент 16-мерной алгебры над полем вещественных чисел. Каждый седенион — это линейная комбинация элементов $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , которая формирует базис векторного пространства седенионов..

Квадра́тный ко́рень из числа $\text{[math]}$ — число $\text{[math]}$ , дающее $\text{[math]}$ при возведении в квадрат: $\text{[math]}$ Равносильное определение: квадратный корень из числа $\text{[math]}$ — решение уравнения $\text{[math]}$ Операция вычисления значения квадратного корня из числа $\text{[math]}$ называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.

Га́уссовы це́лые чи́сла — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.

Теоре́ма Фробе́ниуса — одна из теорем общей алгебры. Теорема утверждает, что при некоторых естественных предположениях всякое тело, расширяющее поле вещественных чисел $\text{[math]}$ :

либо изоморфно исходному полю $\text{[math]}$ ;
либо изоморфно полю комплексных чисел $\text{[math]}$ ;
либо изоморфно телу кватернионов $\text{[math]}$ .

Число Кармайкла — составное число $\text{[math]}$ , которое удовлетворяет сравнению $\text{[math]}$ для всех целых $\text{[math]}$ , взаимно простых с $\text{[math]}$ , другими словами — псевдопростое число по каждому основанию $\text{[math]}$ , взаимно простому с $\text{[math]}$ . Такие числа относительно редки, но их бесконечное число, наименьшее из них — 561; существование таких чисел делает недостаточным условие простоты малой теоремы Ферма, и не позволяет применять тест Ферма как универсальное средство проверки простоты.

Метод квадратичного решета — метод факторизации больших чисел, разработанный Померанцем в 1981 году. Долгое время превосходил другие методы факторизации целых чисел общего вида, не имеющих простых делителей, порядок которых значительно меньше $\text{[math]}$ . Метод квадратичного решета представляет собой разновидность метода факторных баз . Этот метод считается вторым по быстроте. И до сих пор является самым быстрым для целых чисел до 100 десятичных цифр и устроен значительно проще чем общий метод решета числового поля. Это универсальный алгоритм факторизации, так как время его выполнения исключительно зависит от размера факторизуемого числа, а не от его особой структуры и свойств.

Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.

Процедура Кэ́ли — Ди́ксона — это итеративная процедура построения алгебр над полем с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Число Эйзенштейна — комплексное число вида:

\text{[math]}

Теорема Гурвица о нормированных алгебрах — утверждение о множестве всех возможных алгебр с единицей, допускающих при введении скалярного произведения правило «норма произведения равна произведению норм». Установлена немецким математиком Гурвицем в 1898 году..

Теорема Евклида — основной элемент теории чисел. Она утверждает, что для любого конечного списка простых чисел найдётся простое число, не вошедшее в этот список.

<span class="mw-page-title-main">Ряд обратных квадратов</span> вид бесконечного числового ряда

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

\text{[math]}

Ряд обратных простых чисел расходится. То есть:

\text{[math]}

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов :

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.