Топологическая комбинаторика

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Топологическая комбинаторика — направление в топологии, возникшее в последней четверти XX века, занимающаяся применением методов топологии к задачам дискретной математики, топологическими обобщениями задач дискретной геометрии, а также дискретизацией топологических понятий.

Возникшая в начале XX века комбинаторная топология использует комбинаторные принципы в топологии, к 1940-м годам она оформилась в алгебраическую топологию. В 1978 году ситуация перевернулась — методы алгебраической топологии были использованы для решения задачи в комбинаторике, когда Ласло Ловас доказал гипотезу Кнезера, этот момент и считается началом формирования топологической комбинаторики.

Доказательство Ловаса использует теорему Борсука — Улама, которая играет ключевую роль в топологической комбинаторике в целом, имеет много эквивалентных версий и аналогов, и используется для изучения задач справедливого дележа. В другом приложении гомологических методов к теории графов Ловас доказал как неориентированную, так и ориентированную версии гипотезы Франка[англ.] — если задан -связный граф , точек , положительных чисел , сумма которых равна , существует разбиение множества такое, что , и образуют связный подграф.

В 1987 году Нога Алон решил задачу дележа ожерелья используя теорему Борсука — Улама. Теорема использовалась также для изучения вычислительной сложности линейных алгоритмов дерева решений и гипотезы Аандераа — Карпа — Розенберга. Другие области изучении — топологии частично упорядоченных множеств[англ.] и порядков Брюа.

Кроме того, методы из дифференциальной топологии получили комбинаторный аналог в дискретной теории Морса[англ.].

Литература

  • Mark de Longueville. 25 years proof of the Kneser conjecture - The advent of topological combinatorics // EMS Newsletter. — Southampton, Hampshire: European Mathematical Society, 2004. — С. 16–19.

Литература для дальнейшего чтения