Топологическое тело

Топологическое тело — тело, наделённое топологией, согласованной с основными операциями, то есть топологическое кольцо с единицей, в котором на всех ненулевых элементах определена непрерывная операция взятия обратного элемента.

Основной результат о топологических телах получен Львом Понтрягиным в 1931 году: всякое локально компактное связное топологическое тело является либо полем вещественных чисел, либо полем комплексных чисел, либо телом кватернионов^[1]. Колмогоров использовал этот результат при прямом построении действительной и комплексной проективной геометрии^[2]^[3].

Теорема Ковальского: локально компактное несвязное тело $L$ всюду разрывно, то есть не содержит связных подмножеств, и могут иметься два взаимно исключающих случая:

тело $L$ имеет характеристику нуль, и тогда в нём содержится поле $K_{0}^{P}=K$ $p$ -адических чисел;
тело $L$ имеет характеристику $p$ и тогда в нём содержится поле $K_{t}^{P}=K$ рядов относительно некоторого $t$ .

В обоих случаях элементы поля $K$ перестановочны по умножению с элементами тела $L$ и имеется конечный линейный базис тела $L$ над полем $K$ . Именно, такая система элементов $e,l_{1},\dots ,l_{\nu }$ что каждый элемент $x\in L$ записывается в виде $x=x_{0}l_{0}+x_{1}l_{1}+\dots +x_{\nu }l_{\nu }$ ( $x_{i}\in K$ )^[4].

Примечания

↑ Понтрягин, 2018, с. 186.
↑ А. Н. Ширяев, «Андрей Николаевич Колмогоров (25.IV.1903-20.X.1987): In Memoriam», Теория вероятн. и её примен., 34:1 (1989), 5-118; Theory Probab. Appl., 34:1 (1989), 1-99
↑ Zur Begrundung der projektiven Geometrie.— Ann. Math., 1932, v. 33, p. 175—176.
↑ Понтрягин, 2018, с. 218—219.

Литература

Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
Л.С. Понтрягин. Обобщения чисел. — М.: Едиториал УРСС, 2018. — 224 с. — ISBN 978-5-354-01596-2.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. На языке КТП основываются физика высоких энергий и физика элементарных частиц, её математический аппарат используется в физике конденсированного состояния. КТП в виде Стандартной модели в настоящее время является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описывать и предсказывать результаты экспериментов при достижимых в современных ускорителях высоких энергиях.

Мо́щность, или кардина́льное число́, мно́жества — характеристика множеств, обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Область целостности — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля.

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Лине́йная комбина́ция — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов.

Двойственность Понтрягина — обобщение преобразования Фурье на локально компактные абелевы группы.

Неравновесная термодинамика — раздел термодинамики, изучающий системы вне состояния термодинамического равновесия и необратимые процессы. Возникновение этой области знания связано главным образом с тем, что подавляющее большинство встречающихся в природе систем находятся вдали от термодинамического равновесия.

<span class="mw-page-title-main">Карацуба, Анатолий Алексеевич</span> советский и российский математик

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба — советский и российский математик. Создатель первого быстрого метода в истории математики — метода умножения больших чисел.

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

Числа Бетти — последовательность инвариантов топологического пространства. Каждому пространству $\text{[math]}$ соответствует некая последовательность чисел Бетти $\text{[math]}$ .

Нулевое число Бетти $\text{[math]}$ совпадает с числом связных компонент;
Первое число Бетти $\text{[math]}$ интуитивно представляет собой максимальное число разрезов этого пространства, которые можно сделать без увеличения числа компонент связности.

Бетатронные колебания — быстрые поперечные колебания, совершаемые частицей в фокусирующих магнитных полях ускорителя. Бетатронные колебания — основной предмет изучения электронной оптики, раздела физики ускорителей.

Кольцо дискретного нормирования — это кольцо, которое можно получить в результате дискретного нормирования некоторого поля выбором подмножества элементов с неотрицательной нормой. Такое кольцо можно определить множеством эквивалентных способов.

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.