Тороидальная система координат

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Определение

Тороидальная система координат определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:

,

где  — масштабный множитель и радиус окружности в которую вырождается тороидальная координатная поверхность при . Пределы изменения координаты . Обращаясь в бесконечность на указанной окружности, она стремится к нулю на бесконечности, а также в любой точке оси . Две другие координаты являются циклическими с периодом , например можно выбрать

Формулы перехода из тороидальных координат в цилиндрические координаты :

Для обратного преобразования при известных цилиндрических координатах точки вычисляют значения  — максимальное и минимальное расстояние от данной точки до окружности , через которые затем выражаются

Альтернативное определение

В русскоязычной литературе тороидальными могут называться и более простые координаты , такие, что:

(в англоязычной литературе такие координаты называют англ. tubal, а не англ. toroidal). В этом случае циклические координаты называют полоидальным и тороидальным углами соответственно. В приложении к расчётам тородальных плазменных конфигураций, таких как токамак, помимо этих терминов ещё используется термин „магнитная ось“ для окружности , на которой . Вблизи магнитной оси координаты для обеих систем приближенно совпадают, а координаты и связываются между собой соотношением: . Могут также вводиться криволинейные потоковые координаты[1], в которых координатными поверхностями являются топологически тороидальные магнитные поверхности (на которых давлениеплазмы постоянно, а нормальная компонента магнитного поля равна нулю. В этом случае являющаяся аналогом переменных или „потоковая“ координата служит только „меткой“ магнитной поверхности и её числовое значение несущественно.

Свойства

Координатные поверхности

торы

,

сферы

,

полуплоскости

.

Дифференциальные характеристики

Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.

  • Квадрат линейного элемента:
.
  • Квадрат элемента площади:
.
  • Элемент объёма:
.
.
.

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах

  • Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:

Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах

Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:

Решение удобно искать в виде:

,

тогда уравнение для функции :

.

После чего можно разделить переменные:

.

В результате получится система:

В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.

Примечания

Литература

  • Корн Г., Корн Т. Глава 6. Системы криволинейных координат. 6.5 Формулы для ортогональных систем координат // Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 195. — 832 с.
  • Морс Ф. М., Фешбах Г. Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Таблица разделяющих координат для трёх измерений // Методы теоретической физики. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. — Т. 1. — С. 622. — 930 с.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Часть IV. Формулы, таблицы, графики. IV. Различные ортогональные системы координат // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 732—733. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1.

Ссылки