Тор Клифтона — Поля

Тор Клифтона — Поля — пример компактного лоренцева многообразия, не являющегося геодезически полным. Пример показывает, что теорема Хопфа — Ринова не обобщается на псевдоримановы многообразия. Этот пример был построен (но не опубликован) Йитоном Клифтоном и Уильямом Полем в 1962 году.

Рассмотрим многообразие ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$ с метрикой:

${\displaystyle g={\frac {2\cdot dx\,dy}{x^{2}+y^{2}}}}$

Любая гомотетия является изометрией ${\displaystyle M}$, в частности, таково следующее отображение:

${\displaystyle \lambda (x,y)=2\cdot (x,y)}$

Пусть ${\displaystyle \Gamma }$ — подгруппа группы изометрии, порожденная ${\displaystyle \lambda }$. Фактор ${\displaystyle M}$ по ${\displaystyle \Gamma }$ является тором ${\displaystyle T=M/\Gamma }$ — он и называется тором Клифтона — Поля.

Геодезическая неполнота

Легко проверить, что кривая

${\displaystyle \sigma (t):=\left({\frac {1}{1-t}},0\right)}$

есть геодезическая в ${\displaystyle M}$, которая не полна (поскольку она не определена при ${\displaystyle t=1}$). Следовательно, ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle T=M/\Gamma ,}$ не являются геодезически полными.

На самом деле, каждая нуль-геодезическая на ${\displaystyle M}$, а значит и на ${\displaystyle T=M/\Gamma }$, не является полной.

Сопряженные точки

Торы Клифтона — Поля также не имеют сопряженных точек.