Точка Аполлония

Точка Аполлония Ap — специальная точка в треугольнике. Определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания 3 вневписанных окружностей треугольника с описанной вокруг них окружностью. Связана с задачей Аполлония. В Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).

Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трёх внутренних внешним образом, решается с помощью введения точки Аполлония Ap^[1][2].

• Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).
• В рамках этой задачи окружностью Аполлония (не путать с окружностями Аполлония) называется окружность, которая касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. зелёную окружность на рисунке).

• Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно E_A, E_B, E_C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зелёным цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E_A, E_B и E_C (см. рисунок)^[3].

• Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная окружность E, касающаяся трех данных окружностей E_A, E_B и E_C внешним образом.

Радиус окружности Аполлония равен ${\displaystyle {\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника.^[4]

• Точка Аполлония Ap или X(181) в энциклопедии центров треугольника, описанная в 1987-м году, определяется следующим образом:

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

• Ее трилинейные координаты:

${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}}$

На рисунке указанная точка Аполлония Ap изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника ABC, опущенных из точек касаний A' , B' и C' с соответствующими вневписанными окружностями треугольника ABC, образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей E_A, E_B и E_C. Хотя эта точка Ap лежит в точке пересечения трех отрезков AA' , BB' и CC' , но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, её проекции на стороны треугольника ABC являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония Ap совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают.

• Подерный треугольник точки Аполлония является равносторонним треугольником.

Трилинейные координаты точки Аполлония Ap:

${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}}$

${\displaystyle =\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}).}$

• Точки Аполлония