Точка Понселе

Точка Понселе — предмет следующей теоремы^[1]:

Для любой четверки точек ${\displaystyle A,B,C,D}$, отличной от ортоцентрической, окружности девяти точек треугольников ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle BCD}$, ${\displaystyle ABD}$, ${\displaystyle ACD}$ пересекаются в одной точке, которую и называют точкой Понселе.

• В теореме Понселе выше речь идет о системе 4 точек, не являющихся так называемой ортоцентрической системой 4 точек.
• Если в четвёрке точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ точка ${\displaystyle D}$ является точкой пересечения высот треугольника ${\displaystyle ABC}$, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек. Другие свойства ортоцентрической системы точек см. в статье ортоцентр.
• В определении выше для точки Понселе можно отказаться от упоминания ортоцентрической системы точек, если, например, заменить его системой 4 точек, образующих вершины выпуклого невырожденного четырехугольника, которые автоматически никогда не образуют ортоцентрическую систему точек.
• Кстати, если в определении выше для точки Понселе система 4 точек все-таки окажется ортоцентрической, то точка Понселе станет просто окружностью Эйлера (бесконечным множеством точек), общей для ортоцентрической системы точек.

Если ${\displaystyle H}$ — ортоцентр треугольника ${\displaystyle ABC}$, то точки Понселе для четвёрок точек ${\displaystyle ABCD}$, ${\displaystyle ABHD}$, ${\displaystyle AHCD}$, ${\displaystyle HBCD}$ совпадают.

Точка Понселе четвёрки точек ${\displaystyle ABCD}$ лежит на педальной окружности точки ${\displaystyle D}$ относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$, то есть на описанной окружности подерного треугольника точки ${\displaystyle D}$ относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$.

Точка Понселе четвёрки точек ${\displaystyle ABCD}$ является центром равнобокой гиперболы, проходящей через точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$.

Точка Понселе четвёрки точек ${\displaystyle ABCD}$ лежит на чевианной окружности точки ${\displaystyle D}$ относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$, то есть на окружности, содержащей основания чевиан треугольника ${\displaystyle ABC}$, проходящих через точку ${\displaystyle D}$.

Точка Понселе четвёрки ${\displaystyle ABCD}$ является серединой отрезка, соединяющего точки ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle D'}$, где ${\displaystyle D'}$- образ точки ${\displaystyle D}$ при антигональном сопряжении относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$

Точки Понселе четвёрок ${\displaystyle ABCD}$ и ${\displaystyle ABCD'}$ совпадают.

• Антигональное сопряжение - тоже что и анти изогональное сопряжение.^[2]

• Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова.. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-477-4.
• Vonk, Jan (2009), "The Feuerbach point and reflections of the Euler line" (PDF), Forum Geometricorum, 9: 47—55

• Точка Микеля