Точка самоприкосновения

В классической геометрии^[англ.] точка самосоприкосновения (англ. tacnode) или двойной касп^[1] — вид особой точки^[2]. Определяется как точка, где две (или более) соприкасающиеся кривой окружности в этой точке касаются. Это означает, что две ветви кривой имеют одну и ту же касательную в двойной точке^[1].

Каноническим примером служит кривая

${\displaystyle (y-x^{2})(y+x^{2})=0.}$

Другой пример точки самоприкосновения — кривая, показанная на рисунке и имеющая уравнение

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-3x)^{2}-4x^{2}(2-x)=0.}$

Рассмотрим гладкую, принимающую вещественные значения функцию двух переменных, скажем, f(x, y), где x и y — вещественные числа. Таким образом, f отображает плоскость в прямую. На пространство всех таких гладких функций действует группа диффеоморфизмов плоскости и диффеоморфизмов прямой, то есть диффеоморфизмы меняют координаты как в области определения, так и в области значений. Это действие разбивает всё пространство функций^[англ.] на классы эквивалентности, то есть орбиты действия группы.

Одно такое семейство классов эквивалентности обозначается A_k^{±[англ.]}, где k — неотрицательное целое. Обозначение ввёл В. И. Арнольд^[3]. Говорят, что функция f имеет особенность типа A_k^{±[англ.]}, если она лежит на орбите x² ± y^k+1, то есть существует диффеоморфическое преобразование координат в области определения и в области значений, которое переводит f в одну из этих форм. Говорят, что эти простые формы x² ± y^k+1 задают нормальные формы для особенностей типа A_k^{±[англ.]}.

Кривая с уравнением f = 0 будет иметь в начале координат точку самоприкосновения тогда и только тогда, когда f имеет особенность типа A₃⁻ в начале координат.

Заметим, что точка самопересечения кривой (x² − y² = 0) соответствует A₁⁻-особенности. Точка самоприкосновения соответствует A₃⁻-особенности. Фактически, любая особенность типа A_2n+1⁻, где n ≥ 0 — целое число, соответствует кривой с самопересечением. С увеличением порядок самопересечения увеличивается — поперечное пересечение, простое касание, и так далее.

Особенности типа A_2n+1⁺ для действительных чисел не представляют интереса — все они соответствуют изолированным точкам. В комплексных числах особенности A_2n+1⁺ и A_2n+1⁻ эквивалентны — (x,y) → (x, iy) даёт требуемый диффеоморфизм нормальных форм.

• Изолированная точка кривой
• Касп или Точка возврата
• Точка самопересечения^[англ.]

• Е. В. Шикин, М. М.Франк-Каменцкий. Пункт 18. Особые точки кривых // Кривые на плоскости и в пространстве (справочник). — М.: Фазис, 1997. — С. 40. — ISBN 5-7036-0027-8.
• Ю. А. Аминов. 9. Особые точки плоских кривых // Дифференциальная геометрия и топология кривых. — М.: Наука, 1987. — С. 38—39.

• Weisstein, Eric W. Tacnode (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.