Точки Вектена

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Точки Вектена
Внешняя и внутренняя точки Вектена
Внешняя и внутренняя точки Вектена
Барицентрические координаты



(знак «+» для внешней, знак «-» для внутренней)
Трилинейные координаты

(знак «+» для внешней, знак «-» для внутренней)
Код ЭЦТ
  • внешняя: X(485)
  • внутренняя: X(486)

В планиметрии внешняя и внутренняя точки Вектена — точки, которые строятся на основе данного треугольника аналогично первой и второй точкам Наполеона. Однако для построения выбираются центры не равносторонних треугольников, а квадратов, построенных на сторонах данного треугольника (см. рис.).

Внешняя точка Вектена

Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB наружу построим три квадрата соответственно с центрами . Тогда линии и пересекаются в одной точке, называемой внешней точкой Вектена треугольника ABC.

В Энциклопедии центров треугольника внешняя точка Вектена обозначается как X(485)[1].

История

Внешняя точка Вектена названа так в начале 19-го века в честь французского математика Вектена, который изучал математику в одно время с Жергонном (Joseph Diaz Gergonne) в Ниме (Nîmes) и опубликовал своё исследование о фигуре в виде трех квадратов, построенной на трех сторонах треугольника в 1817-м году[2]. По другим данным, это произошло в 1812/1813 годах. При этом ссылаются на работу[3].

Внутренняя точка Вектена

Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB вовнутрь построим три квадрата соответственно с центрами . Тогда линии и пересекаются в одной точке, называемой внутренней точкой Вектена треугольника ABC. В Энциклопедии центров треугольника внутренняя точка Вектена обозначается как X(486)[1].

Прямая пересекает прямую Эйлера в Центре девяти точек треугольника . Точки Вектена лежат на гиперболе Киперта.

Положение на гиперболе Киперта

Координаты внешней и внутренней точек Вектена получаются из уравнения гиперболы Киперта при значениях угла при основаниях треугольников соответственно π/4 и -π/4.


Ассоциации

Рисунок выше для построения внешней точки Вектена в случае, если оно проводится для прямоугольного треугольника совпадает с рисунком одного из доказательств теоремы Пифагора (см. на рис. ниже так называемые пифагоровы штаны).

Пифагоровы штаны. Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты и , равна площади квадрата, построенного на гипотенузе
Пифагоровы штаны. Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности , площадь которых составляет половину площади прямоугольников и соответственно.

См. также

  • Точки Наполеона — пара треугольных центров, построенных аналогичным образом с использованием равносторонних треугольников вместо квадратов

Примечания

  1. 1 2 Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers. Дата обращения: 15 января 2016. Архивировано 19 апреля 2012 года.
  2. Ayme, Jean-Louis, La Figure de Vecten (PDF), Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2016, Дата обращения: 4 ноября 2014
  3. Peter Ladislaw Hammer, Ellis Lane Johnson, Bernhard H. Korte. Discrete Optimization II. — Amsterdam: Elsevier, 2000. — ISBN 978-0-08-086767-0.

Ссылки