Трапеция

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны^[1]. Часто в определении трапеции опускают последнее условие (см. ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны^[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм не становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

• Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Углом при основании трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой^[4] или равнобочной^[5] трапецией).
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

• 
  Равнобедренная трапеция
• 
  Прямоугольная трапеция

• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна ${\displaystyle 180^{\circ }}$ (по свойству секущей при параллельных прямых).
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.^[7]
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому оснований трапеции.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
• Отношение боковых сторон равно отношению синусов противолежащих им углов:

${\displaystyle {\frac {c}{d}}={\frac {\sin D}{\sin C}}}$.

• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
• Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащих к основаниям, подобны. Два других, прилежащих к боковым сторонам, являются равновеликими (имеют одинаковую площадь).
• Если отношение оснований равно ${\displaystyle K}$, то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно ${\displaystyle K^{2}}$.
• Высота трапеции определяется формулой:

${\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}$

где ${\displaystyle b}$ — большее основание, ${\displaystyle a}$ — меньшее основание, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ — боковые стороны.

В случае равнобедренной трапеции эта формула упрощается до

${\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left(b-a\right)^{2}}}}$,

так как ${\displaystyle c^{2}-d^{2}=0}$.

• Диагонали трапеции ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ связаны со сторонами соотношением:

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}}$.

Их можно выразить в явном виде:

${\displaystyle d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}$;

${\displaystyle d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}$.

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}}$;

${\displaystyle b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}}$;

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}$;

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}$.

Если же известна высота ${\displaystyle h}$, то

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}$;

${\displaystyle d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}$.

• Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.
• Длина отрезка ${\displaystyle s}$, соединяющего середины оснований трапеции, может быть вычислена по формуле

${\displaystyle s={\frac {\sqrt {2(c^{2}+d^{2})-(a-b)^{2}}}{2}}}$.

• Если через точку пересечения диагоналей трапеции провести прямую, пересекающую основания, то точки пересечения её с основаниями — две из четырёх вершин параллелограмма, все вершины которого лежат на сторонах трапеции по одной на каждой из сторон указанной трапеции, а стороны параллельны диагоналям данной трапеции. Два отрезка между боковой стороной трапеции и диагональю трапеции, которые диагонали данной трапеции отсекают от диагонали указанного параллелограмма, соединяющей его вершины, лежащие на боковых сторонах трапеции, равны между собой.

• Неравенство для сторон трапеции — сумма боковых сторон больше модуля разности оснований трапеции, т. е. если ${\displaystyle {\mathcal {ABCD}}}$ — трапеция (${\displaystyle {\mathcal {AD\parallel BC}}}$), то выполняется неравенство: ${\displaystyle {\mathcal {AB+CD>|AD-BC|}}}$.
• Неравенство для диагоналей трапеции — сумма диагоналей больше суммы оснований трапеции, т. е. если ${\displaystyle {\mathcal {ABCD}}}$ — трапеция (${\displaystyle {\mathcal {AD\parallel BC}}}$), то выполняется неравенство: ${\displaystyle {\mathcal {AC+BD>AD+BC}}}$.
• Ещё одно неравенство для сторон трапеции — модуль разности боковых сторон меньше модуля разности оснований трапеции, т. е. если ${\displaystyle {\mathcal {ABCD}}}$ — трапеция (${\displaystyle {\mathcal {AD\parallel BC}}}$), то выполняется неравенство: ${\displaystyle {\mathcal {|AB-CD|<|AD-BC|}}}$.

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

• прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции). Эквивалентно: отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, взаимно перпендикулярны;
• высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
• углы при любом основании равны;
• сумма противоположных углов равна 180°;
• длины диагоналей равны;
• диагонали трапеции образовывают с одним и тем же основанием равные углы;
• из каждой вершины одного основания другое основание видно под одним и тем же углом^{[прояснить][8]};
• вокруг этой трапеции можно описать окружность;
• вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

• если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Если ${\displaystyle {\mathcal {ABCD}}}$ — равнобочная трапеция (${\displaystyle {\mathcal {AD\parallel BC}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {AB=CD}}}$), причём ${\displaystyle {\mathcal {AC}}}$ — диагональ трапеции, то ${\displaystyle {\mathcal {{AC}^{2}=AD\cdot BC+{AB}^{2}}}}$.^[9]

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
• Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
• Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:

${\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}}$.

• Если ${\displaystyle a+b=c+d}$, то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

${\displaystyle r={\dfrac {h}{2}}={\dfrac {\sqrt {ab}}{2}}={\dfrac {\sqrt {d^{2}-l^{2}}}{2}}}$.

• Если в трапецию вписана окружность с радиусом ${\displaystyle r}$, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle w}$ — то ${\displaystyle r={\sqrt {vw}}}$.
• Центр окружности, вписанной в трапецию, находится в точке пересечения высоты трапеции, проведённой через точку пересечения диагоналей трапеции, со средней линией трапеции.
• Боковые стороны ${\displaystyle c\leqslant d}$ описанной трапеции выражаются через основания ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ этой трапеции и радиус ${\displaystyle r}$ вписанной в неё окружности как

${\displaystyle c={\dfrac {a+b}{2}}-{\dfrac {|a-b|}{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {4r^{2}}{ab}}}}}$,

${\displaystyle d={\dfrac {a+b}{2}}+{\dfrac {|a-b|}{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {4r^{2}}{ab}}}}}$.

• Радиус ${\displaystyle r}$ вписанной в трапецию окружности выражается через длины ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ её оснований и угол ${\displaystyle \theta }$ между диагоналями описанной трапеции формулой

${\displaystyle r={\frac {2ab(a+b)}{(a-b)^{2}}}\mathrm {ctg} \,\theta }$.

• Угол ${\displaystyle \theta }$ между диагоналями равнобедренной описанной трапеции c основаниями ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ можно найти, используя соотношение

${\displaystyle \operatorname {cos} \theta ={\frac {(a-b)^{2}}{a^{2}+6ab+b^{2}}}}$.

• Радиус ${\displaystyle r}$ вписанной в трапецию (при условии, что трапеция — описанная) окружности может принимать у такой трапеции в принципе (описанная трапеция существует при этом) любое положительное значение, удовлетворяющее неравенству

${\displaystyle r\leqslant {\frac {\sqrt {ab}}{2}}}$,

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — основания описанной трапеции; здесь равенство достигается тогда и только тогда, когда указанная описанная трапеция — равнобедренная.

• Для сторон описанной трапеции выполняется неравенство

${\displaystyle a<c\leqslant d<b}$.

• Длина ${\displaystyle l}$ отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности (у описанной трапеции) с каждой из двух боковых сторон трапеции, для описанной трапеции с длинами оснований ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и радиусом вписанной окружности ${\displaystyle r}$ может быть вычислена по формуле

${\displaystyle l={\frac {2abr}{\sqrt {(ab)^{2}+((a-b)r)^{2}}}}}$.

• Связь противоположных углов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ описанной трапеции с длинами оснований ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (см. рис. выше):

${\displaystyle {\frac {b}{a}}={\frac {\mathrm {ctg} \,{\frac {A}{2}}}{\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{2}}}}}$.

• Площадь ${\displaystyle S}$ описанной трапеции выражается через внутренние углы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ при одном из оснований описанной трапеции и радиус ${\displaystyle r}$ вписанной в неё окружности формулой

${\displaystyle S=2r^{2}{\Bigl (}{\frac {1}{\mathop {\operatorname {\sin } } \alpha }}+{\frac {1}{\mathop {\operatorname {\sin } } \beta }}{\Bigr )}}$.

• Угол ${\displaystyle \theta }$ между диагоналями описанной трапеции, содержащий во внутренней области боковую сторону описанной трапеции, удовлетворяет неравенству

${\displaystyle \mathrm {arccos} \,{\frac {(k-1)^{2}}{k^{2}+6k+1}}\leqslant \theta <{\frac {\pi }{2}}}$,

где ${\displaystyle k}$ — отношение большего основания описанной трапеции к меньшему основанию этой описанной трапеции. Равенство ${\displaystyle \theta =\mathrm {arccos} \,{\frac {(k-1)^{2}}{k^{2}+6k+1}}}$ здесь достигается тогда и только тогда, когда данная описанная трапеция является равнобедренной.

• Диаметр вписанной в прямоугольную трапецию окружности равен среднему гармоническому её оснований.
• Угол ${\displaystyle \theta }$ между диагоналями прямоугольной описанной трапеции с основаниями ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ можно найти, используя соотношение

${\displaystyle \mathrm {\tan } \,\theta =2{\Bigl (}{\frac {a+b}{a-b}}{\Bigr )}^{2}}$.

• Угол ${\displaystyle \theta }$ между диагоналями прямоугольной описанной трапеции (содержащий во внутренней области боковую сторону данной трапеции) в каждом из возможных случаев такой трапеции принимает одно из значений интервала ${\displaystyle {\Bigl (}\mathrm {\arctan } \,2;{\frac {\pi }{2}}{\Bigr )}}$.

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — основания и ${\displaystyle h}$ — высота, формула площади:

${\displaystyle S={\dfrac {(a+b)}{2}}h}$

• В случае, если ${\displaystyle m}$ — средняя линия и ${\displaystyle h}$ — высота, формула площади:

${\displaystyle S=\displaystyle mh}$

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

${\displaystyle m={\dfrac {(a+b)}{2}}}$

• В случае, если известна средняя линия ${\displaystyle m}$, боковая сторона ${\displaystyle c}$ и угол при этой стороне ${\displaystyle \alpha }$, то формула площади выглядит следующим образом:

${\displaystyle S=mc\sin \alpha }$

Примечание: приведённая выше формула получается путём применения теоремы синусов на любом из двух треугольников, образовываемых высотами трапеции. Использование любого из двух углов, прилежащих к боковой стороне обусловлено тем, что ${\displaystyle \sin \alpha =\sin(180^{\circ }-\alpha )}$.

• Формула, где ${\displaystyle a<b}$ — основания, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ — боковые стороны трапеции:

${\displaystyle S={\dfrac {a+b}{4(b-a)}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}$

или

${\displaystyle S={\dfrac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\dfrac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}$

• Средняя линия ${\displaystyle m}$ разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как^[10]

${\displaystyle {\dfrac {S_{1}}{S_{2}}}={\dfrac {3a+b}{a+3b}}}$

• По свойству треугольников ${\displaystyle {\triangle AHD}}$ и ${\displaystyle {\triangle BHC}}$ в трапеции ${\displaystyle ABCD}$:

${\displaystyle S={\left({\sqrt {S_{\bigtriangleup AHD}}}+{\sqrt {S_{\bigtriangleup BHC}}}\right)}^{2}.}$

• Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным ${\displaystyle r}$, и любым из углов трапеции ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle S={\dfrac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}}$

• Площадь равнобедренной трапеции через диагональ ${\displaystyle d}$, боковую сторону ${\displaystyle l}$ и угол при основании ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle S=l{\sqrt {d^{2}-(l\sin \alpha )^{2}}}\sin \alpha }$.

• Площадь равнобедренной трапеции:

${\displaystyle S=(b-c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }}$,

где ${\displaystyle c}$ — боковая сторона, ${\displaystyle b}$ — бо́льшее основание, ${\displaystyle a}$ — меньшее основание, ${\displaystyle \gamma }$ — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной^[11].

• Площадь равнобедренной трапеции через её стороны:

${\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(b-a)^{2}}}}$

• Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты:

${\displaystyle S=h^{2}.}$

В этом случае средняя линия совпадает по длине с высотой трапеции, т. е. ${\displaystyle m=h}$.

Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).