Тригонометрическая формула Виета

Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}$

Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья, Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано). Однако формула Виета более удобна для практического применения^[], ибо позволяет обойтись без мнимых величин.

• Вычисляем ${\displaystyle Q={\frac {a^{2}-3b}{9}}}$
• Вычисляем ${\displaystyle R={\frac {2a^{3}-9ab+27c}{54}}}$
• Вычисляем ${\displaystyle S=Q^{3}-R^{2}}$
• Если ${\displaystyle S>0}$, то вычисляем ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {R}{\sqrt {Q^{3}}}}\right)}$ и имеем три действительных корня:

  ${\displaystyle x_{1}=-2{\sqrt {Q}}\cos(\phi )-{\frac {a}{3}}}$

  ${\displaystyle x_{2,3}=-2{\sqrt {Q}}\cos \left(\phi \pm {\frac {2}{3}}\pi \right)-{\frac {a}{3}}}$

• Если ${\displaystyle S<0}$, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны следующие случаи в зависимости от знака ${\displaystyle Q}$:
  • ${\displaystyle Q>0}$:

    ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{3}}\,\operatorname {Arch} \left({\frac {|R|}{\sqrt {Q^{3}}}}\right)}$

    ${\displaystyle x_{1}=-2\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}\,\operatorname {ch} (\phi )-{\frac {a}{3}}}$ (действительный корень)

    ${\displaystyle x_{2,3}=\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}\,\operatorname {ch} (\phi )-{\frac {a}{3}}\pm i{\sqrt {3}}{\sqrt {Q}}\,\operatorname {sh} (\phi )}$ (пара комплексных корней)

  • ${\displaystyle Q<0}$:

    ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{3}}\,\operatorname {Arsh} \left({\frac {|R|}{\sqrt {|Q|^{3}}}}\right)}$

    ${\displaystyle x_{1}=-2\operatorname {sgn}(R){\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {sh} (\phi )-{\frac {a}{3}}}$ (действительный корень)

    ${\displaystyle x_{2,3}=\operatorname {sgn}(R){\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {sh} (\phi )-{\frac {a}{3}}\pm i{\sqrt {3}}{\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {ch} (\phi )}$ (пара комплексных корней)

  • ${\displaystyle Q=0}$:

  ${\displaystyle x_{1}=-{\sqrt[{3}]{c-{\frac {a^{3}}{27}}}}-{\frac {a}{3}}}$ (действительный корень)

  ${\displaystyle x_{2,3}=-{\frac {a+x_{1}}{2}}\pm {\frac {i}{2}}{\sqrt {|(a-3x_{1})(a+x_{1})-4b|}}}$ (пара комплексных корней)

• Если ${\displaystyle S=0}$, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

  ${\displaystyle x_{1}=-2\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}-{\frac {a}{3}}=-2{\sqrt[{3}]{R}}-{\frac {a}{3}}}$

  ${\displaystyle x_{2}=\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}-{\frac {a}{3}}={\sqrt[{3}]{R}}-{\frac {a}{3}}}$

• Исходный многочлен имеет вид ${\displaystyle P(x_{1})=x_{1}^{3}+a\cdot x_{1}^{2}+b\cdot x_{1}+c}$.

• Подстановкой ${\displaystyle x_{1}=x-{\frac {a}{3}}}$ приводим многочлен к виду ${\displaystyle Q(x)=x^{3}+p\cdot x+q}$, где ${\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}}$ и ${\displaystyle q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c}$.

• Ищем решение уравнения ${\displaystyle Q(x)=x^{3}+p\cdot x+q=0}$ в виде ${\displaystyle x=A\cdot \cos \varphi }$, получаем уравнение ${\displaystyle A^{3}\cdot \cos ^{3}\varphi +Ap\cdot \cos \varphi =-q}$.

• Заметим что в случае ${\displaystyle p<0}$ при ${\displaystyle A={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}}$ это уравнение приобретает вид ${\displaystyle {\frac {A^{3}}{4}}\cdot {\Big (}4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi {\Big )}=-q}$.

• Используя тригонометрическое тождество ${\displaystyle \cos 3\varphi =4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi }$ приходим к уравнению вида ${\displaystyle \cos 3\varphi =-{\frac {4q}{A^{3}}}}$.

• Решение этого уравнения имеет вид ${\displaystyle \varphi _{k}={\frac {1}{3}}\arccos {\Big (}-{\frac {4q}{A^{3}}}{\Big )}+{\frac {2\pi k}{3}}}$, где ${\displaystyle k}$ пробегает значения 0, 1, -1. При условии, что ${\displaystyle 0\leq \arccos {\Big (}-{\frac {4q}{A^{3}}}{\Big )}\leq \pi }$.

• Подставляя полученные значения ${\displaystyle \varphi _{k}}$ в выражение для переменной ${\displaystyle x}$, получаем ответ ${\displaystyle x_{k}=A\cdot \cos \varphi _{k}}$