Тридцатиугольник

Правильный тридцатиугольник
Углы	30
Символ Шлефли	{30}, t{15}

Тридцатиугольник, триаконтагон ― многоугольник с 30 углами и 30 сторонами. Как правило, тридцатиугольником называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае тридцатиугольника углы равны 168°).

Площадь правильного тридцатиугольника со стороной a находится по формуле:

${\displaystyle S=15a^{2}\cdot \cot(6^{\circ })\approx 71,3577334\,a^{2}}$

Или, при радиусе описанной окружности R:

${\displaystyle S=15R^{2}\cdot \sin(12^{\circ })\approx 3,118675\,R^{2}}$

Или, при радиусе вписанной окружности r:

${\displaystyle S=30r^{2}\cdot \tan(6^{\circ })\approx 3,153127\,r^{2}}$

Центральный угол правильного тридцатиугольника равен 12°.

Поскольку 30 = 2×3×5, а 3 и 5 — два простых числа Ферма, правильный тридцатиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля.^[1]

${\displaystyle S={\frac {15}{2}}a^{2}\left({\sqrt {23+10{\sqrt {5}}+2{\sqrt {3(85+38{\sqrt {5}})}}}}\right)={\frac {15}{4}}a^{2}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}a\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{4}}a\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}a\csc {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{2}}a\left(2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}\right)}$

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный ${\displaystyle 2m}$-угольник (в общем случае - ${\displaystyle 2m}$-угольный зоногон) можно разбить на ${\displaystyle {\frac {m(m-1)}{2}}}$ ромбов. Для тридцатиугольника ${\displaystyle m=15}$, так что он может быть разбит на 105 ромбов.

Разбиение правильного тридцатиугольника

• Weisstein, Eric W. Triacontagon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.