Турникет (символ)

Турникет — в математической логике и информатике символ ${\displaystyle \vdash }$ называется «турникетом» из-за его сходства с типичным турникетом, если смотреть сверху. Он также упоминается как «тройник» и часто читается как «даёт», «доказывает», «удовлетворяет» или «влечёт за собой».

В TeX символ турникета ${\displaystyle \vdash }$ получается из команды \vdash. В Юникоде символ турникета (\vdash) называется «кнопка вправо» и находится на кодовой позиции U+22A2^[1]. Кодовая позиция U+22A6 называется «знак утверждения» (\vdash). На пишущей машинке турникет может состоять из вертикальной полосы (|) и тире (-). В LaTeX есть турникетный пакет, который выдаёт этот знак во многих случаях и способен помещать знаки ниже или выше него в нужных местах.^[2]

Турникет представляет собой бинарное отношение. Его интерпретация^[англ.] различна в разных контекстах:

• В эпистемологии Пер Мартин-Лоф (1996) анализирует символ ${\displaystyle \vdash }$ таким образом: «…Сочетание штриха суждения Фреге | и штриха содержания — стало называться знаком утверждения.»^[3] Обозначение Фреге для суждения некоторого содержания A

${\displaystyle \vdash A}$:

можно прочитать::"Я знаю, что A-это правда".

В том же духе условное утверждение

${\displaystyle P\vdash Q}$:

может быть прочитано как:

«Исходя из P, я знаю, что Q»

• В металогике, при построении формальных языков, турникет представляет собой умозаключение (или «выводимость»). Это означает, что он показывает, что одна строка может быть получена^[англ.] из другой за один шаг в соответствии с правилами преобразования (то есть синтаксисом) некоторой заданной формальной системы.^[4] Как таковое, выражение

${\displaystyle P\vdash Q}$

означает, что Q выводимо из P в системе.

В соответствии с его использованием для выводимости, ${\displaystyle \vdash }$, за которым следует выражение без чего-либо предшествующего ему, обозначает теорему, то есть выражение может быть выведено из правил с использованием пустого множества аксиом. Как таковое, выражение

${\displaystyle \vdash Q}$

означает, что Q является теоремой в системе.

• В теории доказательств турникет используется для обозначения «доказуемости» или «выводимости». Например, если T — это формальная теория^[англ.], а S — конкретное предложение на языке теории, то

${\displaystyle T\vdash S}$

означает, что S доказуемо из T.^[5] Это использование продемонстрировано в статье о логике высказываний. Синтаксическое следствие доказуемости следует противопоставить семантическому следствию, обозначаемому символом двойного турникета^[англ.] ${\displaystyle \models }$. Он говорит, что ${\displaystyle S}$ является семантическим следствием ${\displaystyle T}$, или ${\displaystyle T\models S}$, когда все возможные оценки^[англ.], в которых ${\displaystyle T}$ истинны, ${\displaystyle S}$ также истинны. Для пропозициональной логики можно показать, что семантическое следствие ${\displaystyle \models }$ и выводимость ${\displaystyle \vdash }$ эквивалентны друг другу. То есть пропозициональная логика является здравой (${\displaystyle \vdash }$ подразумевает ${\displaystyle \models }$) и полной (${\displaystyle \models }$ подразумевает ${\displaystyle \vdash }$).^[6]

• В типизированном лямбда-исчислении турникет используется для отделения предположений о типизации от суждения о типизации.^[7][8]
• В теории категорий обратный турникет (${\displaystyle \dashv }$), как и в ${\displaystyle F\dashv G}$, используется для указания на то, что функтор F остается сопряженным

с функтором G.^[9] В более редких случаях турникет (${\displaystyle \vdash }$), как в ${\displaystyle G\vdash F}$, используется для указания на то, что функтор Gнепосредственно примыкает к функтору F.^[10]

• В APL символ называется «правый галс» и представляет амбивалентную функцию правой идентичности, где и ${\displaystyle X\vdash Y}$, и ${\displaystyle \vdash Y}$ являются ${\displaystyle Y}$. Обратный символ ${\displaystyle \dashv }$ называется «левый галс» и представляет аналогичное левое тождество, где ${\displaystyle X\dashv Y}$ — это ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle \dashv Y}$ — ${\displaystyle Y}$.^[11][12]
• В комбинаторике, ${\displaystyle \lambda \vdash n}$ означает, что ${\displaystyle \lambda }$ является разбиением числа ${\displaystyle n}$.^[13]
• В калькуляторах фирмы Hewlett-Packard серий HP-41C^[англ.] и HP-42S^[англ.] символ (в кодовой точке 127) в FOCAL character set^[англ.]) называется «Добавить символ» и используется для указания на то, что следующие символы будут добавлены в альфа-регистр, а не заменят существующее содержимое регистра. Этот символ также поддерживается (в кодовой точке 148) в модифицированном варианте шрифта HP Roman^[англ.], используемого в других калькуляторах HP.
• В калькуляторах фирмы Casio серий fx-92 College 2D и fx-92+ Speciale College,^[14] символ означает оператор модуля^[англ.]; на ввод ${\displaystyle 5\vdash 2}$ будет выведено ${\displaystyle Q=2;R=1}$, где Q частное и R остаток. В других калькуляторах CASIO (таких как бельгийские варианты — калькуляторы fx-92B Speciale College и fx-92B College 2D^[15]— где десятичный разделитель представлен точкой вместо запятой), оператор модуля вместо него обозначается как ${\displaystyle \div R}$.

• Двойной турникет (символ)^[англ.] ${\displaystyle \models }$
• Секвенция (теория доказательств)
• Исчисление секвенций
• Список логических символов
• Таблица математических символов

• Frege, Gottlob (1879). "Begriffsschrift: Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens". Halle. {{cite journal}}: Cite journal требует |journal= ()
• Iverson, Kenneth (1987). "A Dictionary of APL". {{cite journal}}: Cite journal требует |journal= ()
• Martin-Lof, Per (1996). "On the meanings of the logical constants and the justifications of the logical laws" (PDF). Nordic Journal of Philosophical Logic. 1 (1): 11—60. (Lecture notes to a short course at Universita degli Studi di Siena, April 1983.)
• Schmidt, David (1994). "The Structure of Typed Programming Languages". MIT Press. ISBN 0-262-19349-3. {{cite journal}}: Cite journal требует |journal= ()
• Troelstra, A. S.; Schwichtenberg, H. (2000). "Basic Proof Theory" (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-77911-1. {{cite journal}}: Cite journal требует |journal= ()